[논문 리뷰] Stability and uniqueness for the inverse problem of the Schr\"odinger equation in 2D with potentials in W^{{\epsilon},p}

Emilia Blåsten|arXiv (Cornell University)|2011. 06. 03.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 5인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $\varepsilon > 0$, $p > 2$ 인 경우 $W^{\varepsilon,p}$ 속성의 잠재력에 대해 2차원 슈뢰딩거 방정식의 역문제에 대해 유일성과 상대적 안정성을 확립한다. Bukhgeïm의 진동하는 해와 Alessandrini의 항등식을 사용하며, 정적 단계 추정과 Lorentz 및 BMO 유형 공간에서의 보간 이론을 결합하여 잠재력의 차이가 그들의 딜리클레-노이만 맵 차이의 로그 승수에 의해 제어됨을 보여준다.

ABSTRACT

This result will be published as part of my PhD thesis after some streamlining. This manuscript contains the proof of the claim, but is not peer-reviewed. We prove uniqueness and stability for the inverse problem of the 2D Schr\\"odinger equation in the case that the potentials give well posed direct problems and are in W^{{\\epsilon},p}({\\Omega}), {\\epsilon}>0, p>2. The idea of the proof is to use Bukhgeim's oscillating exponential solutions. By Alessandrini's identity and stationary phase we get information about the difference of the potentials from the difference of the Dirichlet-Neumann maps. Using interpolation, we see that the the worst of the remainder terms decays with an exponent of 1 - {\\epsilon} - {\\beta}. Here {\\beta} is the exponent which we get in a norm estimate for the conjugated Cauchy operator. We get it arbitrarily close to 1, so there is uniqueness and stability when {\\epsilon} > 0.

연구 동기 및 목표

• 잠재력이 $W^{\varepsilon,p}(\Omega)$에 속할 때 2차원 슈뢰딩거 방정식의 역문제에 대해 유일성과 안정성을 확립하는 것.
• 이전에 알려진 바보다 덜 규칙적인 잠재력, 특히 $\varepsilon > 0$ 인 경우에 대해 역문제 프레임워크를 확장하는 것.
• 잠재력의 차이에 대한 로그 안정성 추정을 딜리클레-노이만 맵의 차이에 대해 유도하는 것.
• 안정성 모듈러스가 소볼레프 규칙성 $\varepsilon$에 따라 결정되며, Lorentz와 BMO 공간 간의 보간을 통해 향상될 수 있음을 보여주는 것.

제안 방법

• Bukhgeïm의 복소 지수 해 $e^{in(z-z_0)^2}f$를 사용하여 슈뢰딩거 방정식의 근사 해를 구성하는 것.
• Alessandrini의 항등식을 적용하여 딜리클레-노이만 맵의 차이를 진동적 적분을 통해 잠재력의 차이와 연결하는 것.
• 정적 단계 방법을 사용하여 진동적 적분 표현에서 잔여 항을 추정하는 것.
• 복소 보간 이론을 $L^p$와 $W^{1,p}$ 공간 간에 적용하여 잔여 항의 감쇠를 제어하며, 중간 공간 $A_\theta$와 $X_\theta$를 도입하는 것.
• 확장 및 제한 연산자를 사용하여 $\mathbb{C}$에서 도메인 $\Omega$로 추정을 전달하며, 코너제이트 코시 연산자의 유계성을 활용하는 것.
• 해를 국소화하고 보간 프레임워크 내 오차 항을 제어하기 위해 $W^{1,l}$ 노름이 제어된 컷오프 함수 $h$를 사용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 잠재력이 $W^{\varepsilon,p}$에 속할 때 $\varepsilon > 0$, $p > 2$ 인 경우 2차원 역 슈뢰딩거 문제에 대해 유일성과 안정성을 확립할 수 있는가?
• RQ2 낮은 규칙성 잠재력이 존재할 때 진동하는 해로부터 유도된 잔여 항의 최적 감쇠 속도는 무엇인가?
• RQ3 Lorentz와 BMO 공간 간의 보간이 역문제에서 안정성 모듈러스를 어떻게 향상시키는가?
• RQ4 디릴리클레-노이만 맵 차이의 로그 승수에 따라 안정성 추정을 정량화할 수 있는가?
• RQ5 파rameter $\varepsilon$는 안정성 추정의 연속성 모듈러스를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 논문은 직접 문제의 잘 정의됨을 전제로, $\varepsilon > 0$, $p > 2$ 인 경우 $W^{\varepsilon,p}(\Omega)$에 속하는 잠재력에 대해 2차원 역 슈뢰딩거 문제에 대해 유일성과 상대적 안정성을 증명한다.
• 안정성 추정은 $\|q_1 - q_2\|_{L^2(\Omega)} \leq C'_{M,\varepsilon,a} \left(\ln \|\Lambda_{q_1} - \Lambda_{q_2}\|^{-1}\right)^{-\min(4\varepsilon,1)/8}$ 형태이며, 데이터 오차에 대해 상대적 로그 의존성을 보여준다.
• 진동적 적분에서 잔여 항의 감쇠 속도는 $n^{-\theta/2}$ 형태이며, $\theta = \min(\varepsilon, 1/4)$ 이다. 이는 안정성 모듈러스를 결정한다.
• 공간 $X_\theta$에서의 보간을 사용함으로써 안정성 추정이 임의로 작은 $\varepsilon > 0$ 인 잠재력으로까지 확장되며, 이는 이전 결과를 향상시킨다.
• 코너제이트 코시 연산자에서 유도된 잔여 항은 $n^{-\beta}$ 형태로 감쇠되며, $\beta$는 1에 임의로 가까운 값을 가질 수 있다. 이는 $\varepsilon > 0$ 인 경우의 안정성 결과를 가능하게 한다.
• 보간 프레임워크 내 오차 항이 $z_0$에 대해 일관되게 유계임을 보장하기 위해, 제어된 $W^{1,l}$ 노름을 갖는 컷오프 함수 $h$의 철저한 구성에 의존한다.