[논문 리뷰] Stabilization approaches for the hyperelastic immersed boundary method for problems of large-deformation incompressible elasticity

Ben Vadala-Roth, Shashank Acharya외 3명|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 15.

Lattice Boltzmann Simulation Studies참고 문헌 45인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 대변형 불가약성 탄성에서 부피 보존성을 향상시키기 위해 초탄성 임마ージ드 바운더리 방법에 대한 부피 안정화 접근법을 제안한다. 변형 에너지를 등부피 및 부피 변화 성분으로 분해하고, 불가약성에 대한 이산 라그랑주 승수를 보강함으로써, 최소한의 계산 비용으로 안정화된 유한요소 방법과 유사한 정확도를 달성하며, 준정적 및 동적 유체-구조 상호작용 벤치마크에서 부피 오차를 크게 감소시킨다.

ABSTRACT

The immersed boundary method is a mathematical framework for modeling fluid-structure interaction. This formulation describes the momentum, viscosity, and incompressibility of the fluid-structure system in Eulerian form, and it uses Lagrangian coordinates to describe the structural deformations, stresses, and resultant forces. Integral transforms with Dirac delta function kernels connect the Eulerian and Lagrangian frames. The fluid and the structure are both typically treated as incompressible materials. Upon discretization, however, the incompressibility of the structure is only maintained approximately. To obtain an immersed method for incompressible hyperelastic structures that is robust under large structural deformations, we introduce a volumetric energy in the solid region that stabilizes the formulation and improves the accuracy of the numerical scheme. This formulation augments the discrete Lagrange multiplier for the incompressibility constraint, thereby improving the original method's accuracy. This volumetric energy is incorporated by decomposing the strain energy into isochoric and dilatational components, as in standard solid mechanics formulations of nearly incompressible elasticity. We study the performance of the stabilized method using several quasi-static solid mechanics benchmarks, a dynamic fluid-structure interaction benchmark, and a detailed three-dimensional model of esophageal transport. The accuracy achieved by the stabilized immersed formulation is comparable to that of a stabilized finite element method for incompressible elasticity using similar numbers of structural degrees of freedom.

연구 동기 및 목표

• 대변형 불가약성 탄성 시뮬레이션에서 임마ージ드 바운더리 방법의 부피 보존 오류를 해결하기 위해.
• 디스크리티제이션에 의해 발생하는 오류에도 불구하고 고체 영역에서 불가약성을 유지할 수 있는 안정화 기법을 개발하기 위해.
• 안정성과 계산 비용을 증가시키지 않으면서 수치 정확도와 수렴성을 향상시키기 위해.
• 준정적 및 동적 유체-구조 상호작용 벤치마크(예: 3D 식도 운반 모델 포함)에서 방법의 성능을 평가하기 위해.
• 체적 페널티와 수정된 불변량을 사용하여 초탄성 IB 방법에 대한 강력한 기본 설정을 수립하기 위해.

제안 방법

• 고체 영역에 체적 에너지 항을 도입하여 불가약성 제약 조건을 안정화하고, 변형 에너지를 등부피 및 체적 변화 성분으로 분해한다.
• 체적 에너지를 사용해 이산 라그랑주 승수를 보강함으로써, 오일러 기준에서 제약 조건을 더 잘 이행한다.
• 큰 변형 하에서 재료 거동을 더 잘 포착하기 위해 탄성 에너지 기능에 수정된 불변량(예: $\bar{I}_4$, $\bar{I}_5$)을 사용한다.
• 안정화를 고체 영역에만 적용함으로써, 원래 IB 프레임워크의 구조와 커플링 연산자를 유지한다.
• 편미분 사영 형식을 통해 구현하여, 거의 불가약성 탄성 이론과 일관성을 확보한다.
• 오일러 및 라그랑주 영역 간의 커플링을 위해 정규화된 디랙 델타 함수를 사용하여 부드러운 속도 전달을 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 체적 안정화가 대변형 조건에서 초탄성 임마ージ드 바운더리 시뮬레이션의 부피 보존에 어떻게 기여하는가?
• RQ2 수정된 불변량을 사용할 경우와 비수정 불변량을 사용할 경우의 수치 정확도 및 변형 품질에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ3 이 안정화 방법은 동일한 구조적 자유도 수준에서 안정화된 유한요소 방법과 유사한 정확도를 달성할 수 있는가?
• RQ4 이 방법은 탄성 띠 벤치마크 및 식도 운반과 같은 동적 유체-구조 상호작용 문제에서 어떻게 성능을 발휘하는가?
• RQ5 이 안정화 기법이 수치적 불안정성이나 상당한 계산 오버헤드를 유발하는가?

주요 결과

• 비틀림 시험에서 수정되지 않은 불변량을 사용한 비안정화 사례 대비 부피 오차가 최대 59% 감소하였다.
• 등방성 쿠크 막대 및 3D 식도 운반 모델을 포함한 모든 벤치마크에서 부피 보존성이 크게 향상되었다.
• 동일한 구조적 자유도 수준에서 안정화된 유한요소 방법과 유사한 정확도를 달성하였다.
• 점별 부피 보존성이 유지되었으며, 식도 운반 시뮬레이션에서 요소의 역전이 방지되었다.
• 안정성에 악영향을 주지 않으며, 계산 비용은 극히 미미하여 대규모 시뮬레이션에 실용적이다.
• 체적 페널티와 함께 수정된 불변량을 사용할 경우, 제로 페널티를 적용한 비수정 불변량 대비 열등한 결과를 얻었다.