[논문 리뷰] Stabilization of polynomial dynamical systems using linear programming based on Bernstein polynomials

Mohamed Amin Ben Sassi, Sriram Sankaranarayanan|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 19.

Advanced Control Systems Optimization참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 다항 동역계의 안정성을 보장하기 위해 베르슈타인 다항식과 정책 반복을 활용한 선형 프로그래밍 기반 방법을 제안한다. 이 방법은 이중선형 다항 최적화 문제의 선형화된 반복적 해법을 통해 정적 출력 피드백 제어기와 리아푸노프 함수를 동시에 합성함으로써 점점 더 안정성과 상자 영역의 불변성을 확보한다. 벤치마크 예제들에 대한 효과적인 수렴성을 보이며, 효율적인 성능을 입증한다.

ABSTRACT

In this paper, we deal with the problem of synthesizing static output feedback controllers for stabilizing polynomial systems. Our approach jointly synthesizes a Lyapunov function and a static output feedback controller that stabilizes the system over a given subset of the state-space. Specifically, our approach is simultaneously targeted towards two goals: (a) asymptotic Lyapunov stability of the system, and (b) invariance of a box containing the equilibrium. Our approach uses Bernstein polynomials to build a linear relaxation of polynomial optimization problems, and the use of a so-called "policy iteration" approach to deal with bilinear optimization problems. Our approach can be naturally extended to synthesizing hybrid feedback control laws through a combination of state-space decomposition and Bernstein polynomials. We demonstrate the effectiveness of our approach on a series of numerical benchmark examples.

연구 동기 및 목표

• 주어진 상태공간 영역에서 점점 더 안정성과 불변성을 보장하는 정적 출력 피드백 제어기를 설계하는 데 도전하는 것.
• 출력 피드백 제어에서 이중행렬부등식(BMIs)의 비볼록성 문제를 해결하기 위해 문제를 선형 프로그래밍의 연속적 시퀀스로 재구성하는 것.
• 정책 반복 프레임워크를 통해 리아푸노프 함수와 피드백 제어기 계수를 번갈아 최적화함으로써 효율적인 계산을 가능하게 하는 것.
• 상태공간 분해와 베르슈타인 다항식 선형화를 통해 하이브리드 피드백 제어로의 확장을 이루는 것.
• 다양한 차원과 상자 제약 조건을 가진 다양한 벤치마크 다항 시스템에서 실용적 효과성을 입증하는 것.

제안 방법

• 다항 최적화 문제를 선형화하기 위해 베르슈타인 다항식을 사용하여 비볼록 이중선형 항을 해석 가능한 선형 프로그래밍 문제로 변환한다.
• 정책 반복 기법을 통해 피드백 제어기를 고정하고 리아푸노프 함수를 최적화하는 것과 그 반대를 번갈아가며 반복적으로 안정성과 불변성 조건을 향상시킨다.
• 리아푸노프 안정성과 불변성을 상자 영역 위의 다항부등식으로 표현하고, 베르슈타인 계수 분석을 통해 비음성 조건을 강제한다.
• 고차 다항식 항을 선형 형태로 변환하기 위해 재구성 선형화 기법을 사용하여 선형 프로그래밍 솔버에 적합한 형태로 변환한다.
• 리아푸노프 함수와 피드백 제어기 양쪽 모두에 템플릿 기반 다항식 형태를 가정하고, 계수를 반복적으로 최적화한다.
• 상태공간을 분해하고 각 영역에 동일한 LP 기반 선형화를 적용함으로써 하이브리드 제어 법칙으로 자연스럽게 확장할 수 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다항 시스템에 대해 오직 선형 프로그래밍 선형화만을 사용하여 정적 출력 피드백 제어기와 리아푸노프 함수를 동시에 합성할 수 있는가?
• RQ2 베르슈타인 다항식 선형화와 정책 반복이 이중선형 다항 최적화 문제를 제어기 합성에 효과적으로 해결하는 데 얼마나 유용한가?
• RQ3 다항 시스템에서 주어진 상자 영역의 불변성을 점점 더 안정성과 함께 얼마나 잘 보장할 수 있는가?
• RQ4 이 방법의 계산적 확장성과 수렴 행동은 차원과 복잡성이 다른 시스템들 사이에서 어떻게 나타나는가?
• RQ5 기존의 BMI 기반 또는 제곱합(SOS) 방법에 비해 실용적 벤치마크에서 효율성과 타당성 측면에서 이 방법이 뛰어나다고 할 수 있는가?

주요 결과

• 이 방법은 11개의 벤치마크 다항 시스템 중 7개를 성공적으로 안정화시켰으며, 최대 5개의 상태 변수와 비선형성이 복잡한 예제들도 포함되어 있었다.
• 이중 차원 시스템의 경우 각 반복이 약 1초가 걸렸고, 삼중 차원 시스템의 경우 반복당 2~3초가 소요되었다.
• большин의 시스템에서 3~6회 반복 내에 해가 수렴했으며, 예제 11의 경우 단 2회 반복만에 수렴했다.
• 불변성은 11개 예제 중 6개에서 달성되었고, 나머지 경우는 안정성과 불변성 조건을 동시에 엄격하게 만족시키지 못해 실패했다.
• 고차원 시스템, 예를 들어 4차원 예제 9와 5차원 예제 11에서도 이 방법은 타당성과 안정성을 확보했으며, 매우 작은 타당성 갭(예: 6×10⁻⁵)을 보였다.
• 수렴 보장이 없는 상황이지만, 다양한 벤치마크에서 안정화 제어기와 리아푸노프 함수를 일관되게 찾는 데 성공하여 실용적 효용성을 시사했다.