[논문 리뷰] Stack-sorting for Words

Colin Defant, Noah Kravitz|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 24.

semigroups and automata theory인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 반복되는 문자를 가진 단어로 웨스트의 스택 정렬 맵을 일반화하는 두 가지 새로운 스택 정렬 연산자인 $τ$-hare와 $τ$-tortoise를 소개한다. 이는 토르토이즈 연산자가 헤어 연산자보다 특정 단어를 더 빠르게 정렬할 수 있음을 보이며, 사전 이미지 수를 계산하기 위해 일반화된 유효 훅 구성 이론을 개발하고, $231$과 $221$을 피하는 $ε$-균일 단어가 $(\ell+1)$-카탈란 수로 세어지름을 증명한다.

ABSTRACT

We introduce operators $\mathsf{hare}$ and $\mathsf{tortoise}$, which act on words as natural generalizations of West's stack-sorting map. We show that the heuristically slower algorithm $\mathsf{tortoise}$ can sort words arbitrarily faster than its counterpart $\mathsf{hare}$. We then generalize the combinatorial objects known as valid hook configurations in order to find a method for computing the number of preimages of any word under these two operators. We relate the question of determining which words are sortable by $\mathsf{hare}$ and $\mathsf{tortoise}$ to more classical problems in pattern avoidance, and we derive a recurrence for the number of words with a fixed number of copies of each letter (permutations of a multiset) that are sortable by each map. In particular, we use generating trees to prove that the $\ell$-uniform words on the alphabet $[n]$ that avoid the patterns $231$ and $221$ are counted by the $(\ell+1)$-Catalan number $\frac{1}{\ell n+1}{(\ell+1)n\choose n}$. We conclude with several open problems and conjectures.

연구 동기 및 목표

• 퍼미터에서 단어로 웨스트의 스택 정렬 맵을 확장하기 위해.
• 같은 요소들이 스택 내에서 어떻게 상호작용하는지에 따라 다름을 보이는 두 가지 새로운 스택 정렬 연산자인 $τ$-hare와 $τ$-tortoise를 정의하고 분석하기 위해.
• 이 두 연산자에 대해 어떤 단어의 사전 이미지 수를 계산하기 위한 일반화된 유효 훅 구성 이론을 개발하기 위해.
• 이 연산자들에 의해 정렬 가능한 단어들이 고전적 패턴 회피 문제와 어떻게 관련되어 있으며, 이를 통해 수세기 결과를 도출하기 위해.
• 단어의 비옥도(사전 이미지 수)를 조사하고, 두 연산자 하에서 모든 음이 아닌 정수가 비옥도로 나타날 수 있음을 추측하기 위해.

제안 방법

• 같은 요소들이 스택 내에서 어떻게 처리되는지에 따라 다른 규칙을 가진 $τ$-hare와 $τ$-tortoise 연산자를 정의하여, 웨스트의 스택 정렬 맵을 반복되는 문자를 가진 단어로 자연스럽게 일반화한다.
• 경계 케이스를 분석하기 위해 정규화된 단어와 예외적 단어의 개념을 도입한다.
• 다중집합을 다룰 수 있도록 유효 훅 구성의 개념을 일반화하여 두 연산자 하에서 사전 이미지 수를 계산한다.
• 생성 트리와 재귀적 분해를 사용하여 고정된 다중집합을 가진 정렬 가능한 단어의 수에 대한 재귀식을 도출한다.
• 표현 $231$과 $221$을 피하는 $ε$-균일 단어의 수가 $(\ell+1)$-카탈란 수인 $\frac{1}{\ell n+1}\binom{(\ell+1)n}{n}$임을 증명한다.
• 예외적 단어의 渐近적 행동을 분석하고, 예외적 단어와 정규화된 단어의 비율이 길이에 따라 증가할 것이라 추측한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반복되는 문자를 가진 단어에 대해 $τ$-hare와 $τ$-tortoise 연산자는 정렬 속도에서 어떻게 비교되는가?
• RQ2 주어진 단어에 대해 $τ$-hare와 $τ$-tortoise 연산자 하에서의 사전 이미지 수는 얼마인가?
• RQ3 어떤 단어들이 $τ$-hare와 $τ$-tortoise 연산자로 정렬 가능하며, 이는 고전적 패턴 회피 문제와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 모든 음이 아닌 정수가 이 두 연산자 하에서 비옥도(사전 이미지 수)로 나타날 수 있는가?
• RQ5 정규화된 단어 중에서 표준 규칙에 따라 제대로 정렬되지 않는 예외적 단어의 점근 밀도는 얼마인가?

주요 결과

• 특정 단어에 대해 $τ$-tortoise 연산자는 $τ$-hare 연산자보다 임의로 더 빠르게 정렬할 수 있으며, 이는 상당한 성능 우월성을 보여준다.
• 알파벳 $[n]$에서 $231$과 $221$을 피하는 $ε$-균일 단어의 수는 $(\ell+1)$-카탈란 수인 $\frac{1}{\ell n+1}\binom{(\ell+1)n}{n}$로 주어진다.
• 길이 $m$인 예외적 정규화된 단어의 집합은 $m \geq 7$일 때 비어 있지 않으며, $|\mathcal{E}_7| = 4$, $|\mathcal{E}_8| = 172$, $|\mathcal{E}_9| = 5001$이다.
• 예외적 단어와 정규화된 단어의 비율은 $m$이 증가함에 따라 증가하며, 이는 양의 점근 밀도를 시사한다. 저자들은 $\lim_{m\to\infty} |\mathcal{E}_m|/|\mathcal{NW}_m|$가 존재한다고 추측한다.
• 모든 음이 아닌 정수가 $τ$-hare와 $τ$-tortoise 연산자 하에서 어떤 단어의 비옥도(사전 이미지 수)로 나타난다.
• 저자들은 이러한 연산자 하에서 어떤 순열의 비옥도로도 나타나지 않는 양의 정수가 무한히 많을 것이라 추측하며, 2-균일 단어에서의 비옥도에 관한 열린 질문을 제기한다.