[논문 리뷰] Step-by-step solving schemes based on scalar auxiliary variable and invariant energy quadratization approaches for gradient flows

Zhengguang Liu, Xiaoli Li|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 29.

Solidification and crystal growth phenomena참고 문헌 26인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 경량 흐름에 대한 새로운 단계별 해법—3S-SAV 및 3S-IEQ—를 제안한다. 이는 스칼라 보조 변수(SAV) 및 에너지 보존 제곱화(IEQ) 방법을 기반으로 하며, 비선형 항과 일정 계수 선형 시스템을 완전히 명시적으로 처리함으로써 자유 에너지 포텐셜의 유계성 가정이 필요 없고, 기존의 SAV/IEQ 방법보다 더 높은 효율성과 정확도를 확보하는 조건부 에너지 안정성을 보장한다.

ABSTRACT

In this paper, we propose several novel numerical techniques to deal with nonlinear terms in gradient flows. These step-by-step solving schemes, termed 3S-SAV and 3S-IEQ schemes, are based on recently popular scalar auxiliary variable (SAV) and invariant energy quadratization (IEQ) approaches. In these constructed numerical methods, the phase function $ϕ$ and auxiliary variable can be calculated step-by-step. Compared with the traditional SAV/IEQ approaches, there are many advantages for the novel 3S-SAV/3S-IEQ schemes. Firstly, we do not need the restriction of the bounded from below of the nonlinear free energy potential/density function. Secondly, the auxiliary variable combined with nonlinear function can be treated totally explicitly in the 3S-SAV/3S-IEQ approaches. Specially, for solving the discrete scheme based on IEQ approach, the linear system usually involves variable coefficients which change at each time step. However, the discrete scheme based on 3S-IEQ approach leads to linear equation with constant coefficients. Two comparative studies of traditional SAV/IEQ and 3S-SAV/3S-IEQ approaches are considered to show the accuracy and efficiency. Finally, we present various 2D numerical simulations to demonstrate the stability and accuracy.

연구 동기 및 목표

• 복잡한 비선형 자유 에너지 포텐셜을 가진 경량 흐름에 대해 효율적이고 조건부 에너지 안정적인 시간 적분 해법을 개발한다.
• 기존 SAV 및 IEQ 방법을 제한하는 바탕이 되는 비선형 자유 에너지 포텐셜이 아래로 유계여야 한다는 제약 조건을 제거한다.
• 시간 이산화에서 보조 변수와 비선형 항을 완전히 명시적으로 처리함으로써 계산 효율성을 향상시킨다.
• IEQ 기반 해법에서 일정 계수를 가진 선형 시스템을 구성함으로써 기존 IEQ에서의 변수 계수 시스템과 비교해 해법 절차를 단순화한다.
• 2차원 수치 시뮬레이션을 통해 신규 해법의 정확도, 안정성 및 효율성을 광범위하게 검증한다.

제안 방법

• 단계별로 단계를 나누어 단계별로 단계를 푸는 3S-SAV 및 3S-IEQ 해법을 제안하여 단계별로 상변화 변수와 보조 변수를 완전히 분리한다.
• 보조 변수를 단계별로 단계적으로 계산함으로써 반복적인 비선형 해법이 필요 없도록 새로운 설정을 도입한다.
• 스칼라 보조 변수(SAV) 및 에너지 보존 제곱화(IEQ) 프레임워크를 사용하지만, 비선형 함수와 보조 변수를 완전히 명시적으로 처리하기 위해 재구성한다.
• 반연속 수준에서 에너지 소산 법칙을 유지함으로써 조건부 에너지 안정성을 유지하는 이산화 해법을 유도한다.
• 공간 이산화에 푸리에 스펙트럼 방법을 사용하고, 시간 적분에 크랭크-니콜슨 또는 후진 차분 공식을 적용한다.
• 3S-IEQ 접근법에서 기존 IEQ와 달리 일정 계수를 가진 선형 시스템을 구성함으로써 표준 IEQ의 변수 계수 시스템과 비교해 더 빠른 해법 전략을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 SAV/IEQ 방법에서 단계별로 상변화 변수와 보조 변수를 완전히 분리하여 단계별로 해를 구할 수 있는 해법을 설계할 수 있는가? 이 경우 에너지 안정성이 유지되는가?
• RQ2 비선형 자유 에너지 포텐셜이 아래로 유계여야 한다는 조건을 제거함으로써 SAV/IEQ 방법의 적용 범위가 더 넓어지는가?
• RQ3 시간 적분에서 보조 변수와 비선형 항을 완전히 명시적으로 처리할 수 있는가? 이는 계산 비용을 감소시키는가?
• RQ4 3S-IEQ 해법은 일정 계수를 가진 선형 시스템을 도출하는가? 이는 표준 IEQ의 변수 계수 시스템과 비교해 해법 절차를 단순화하는가?
• RQ5 2차원 상변화 모델 시뮬레이션에서 3S-SAV 및 3S-IEQ 해법은 기존 SAV 및 IEQ 방법과 비교해 정확도와 효율성 면에서 어떻게 다른가?

주요 결과

• 3S-SAV 및 3S-IEQ 해법은 모든 테스트 시간 단계에서 에너지 기능의 단조 감소를 통해 조건부 에너지 안정성을 확보한다.
• 비선형 자유 에너지 포텐셜의 아래로 유계여야 한다는 조건이 제거되어 적용 가능한 모델의 범위가 넓어진다.
• 보조 변수와 비선형 항이 완전히 명시적으로 처리되어 기존 SAV/IEQ 방법과 비교해 계산 비용을 크게 감소시킨다.
• 3S-IEQ 접근법은 일정 계수를 가진 선형 시스템을 도출하여 표준 IEQ의 변수 계수 시스템과 비교해 더 빠르고 효율적인 해법 절차를 가능하게 한다.
• 앨런-캘른, 케인-힐리아드 및 상변화 결정 모델에 대한 수치 시뮬레이션 결과, 3S-SAV와 기존 SAV 해법 간의 상호 일치가 뛰어나며, 상변화 진전이나 에너지 감소에 눈에 띄는 차이가 없었다.
• 3S-SAV 및 3S-IEQ 해법은 큰 시간 간격 Δt = 10에서도 높은 정확도와 안정성을 유지하여 강건성을 입증했다.