[논문 리뷰] Stochastic 3D Navier-Stokes equations with nonlinear damping: martingale solution, strong solution and small time large deviation principles

Hui Liu, Hui Gao|arXiv (Cornell University)|2016. 08. 29.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 22인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비선형 감쇠가 있는 확률적 3D 나비에-스토크스 방정식에 대해 마팅게일 해와 강한 해의 존재성을 확립하며, β > 3 이며 α ≥ 1/2 일 때 β = 3 이면 전역 존재성과 유일성을 증명한다. 또한 확률적 분석과 컴팩트니스 방법을 이용하여 동일한 시스템에 대해 짧은 시간에 대한 대 deviations 원리(LDP)를 도출한다.

ABSTRACT

In this paper, by using classical Faedo-Galerkin approximation and compactness method, the existence of martingale solutions for the stochastic 3D Navier-Stokes equations with nonlinear damping is obtained. The existence and uniqueness of strong solution are proved for $β> 3$ with any $α>0$ and $α\geq \frac12$ as $β= 3$. Meanwhile, a small time large deviation principle for the stochastic 3D Navier-Stokes equation with damping is proved for $β> 3$ with any $α>0$ and $α\geq \frac12$ as $β= 3$.

연구 동기 및 목표

• 유한차원 부분공간에서 Faedo-Galerkin 근사 및 컴팩트니스 방법을 사용하여 비선형 감쇠가 있는 확률적 3D 나비에-스토크스 방정식에 대한 마팅게일 해의 존재성을 확립한다.
• 모든 α > 0 에 대해 β > 3 이며, β = 3 이면 α ≥ 1/2 일 때 강한 해의 존재성과 유일성을 증명한다.
• 감쇠가 있는 확률적 3D 나비에-스토크스 방정식에 대해 짧은 시간에 대한 대 deviations 원리(LDP)를 도출하며, 프리드린-웬츠엘 이론을 감쇠가 있는 확률적 3D 경우로 확장한다.
• 비선형 감쇠 효과의 정교한 분석을 통해 이전의 결정론적 결과를 개선하여 β ≥ 3 일 때 α ≥ 1/2 조건을 완화한다.
• LDP와 에르고딕성 추정을 통한 희귀 사건 및 점근적 행동을 다루는 데 있어 엄밀한 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 유한차원 부분공간에서 근사해를 구성하기 위해 Faedo-Galerkin 근사 방법을 사용한다.
• 컴팩트니스 추론과 사전 추정을 적용하여 극한을 취함으로써 약한 의미에서 마팅게일 해를 도출한다.
• 에너지 추정과 이토의 공식을 사용하여 비선형 항을 제어하며, 특히 ∫₀ᵗ∫_D |u·∇u|² dx ds 를 감쇠항 |u|^{β−1}u 를 통해 제어한다.
• 약한 수렴 방법과 스토로호드의 임bedding 정리를 적용하여 LDP 분석을 위한 측도의 타이트니스를 확보한다.
• 프리드린-웬츠엘의 약한 수렴 접근법을 구현하여 짧은 시간 LDP를 도출하며, 지수 추정과 대 deviations 경계에 의존한다.
• 정지시간 τ_ε,M^n 과 지수 모멘트 추정을 사용하여 해와 그 근사 간의 경로별 차이를 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 감쇠가 있는 확률적 3D 나비에-스토크스 방정식에 대해 마팅게일 해가 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 β 와 α 가 어떤 값일 때 전역적으로 시간에 대해 유일한 강한 해가 존재하는가?
• RQ3 비선형 감쇠가 있는 확률적 3D 나비에-스토크스 방정식에 대해 짧은 시간에 대한 대 deviations 원리(LDP)를 확립할 수 있는가?
• RQ4 비선형 감쇠항 |u|^{β−1}u 는 표준 경우와 비교해 어떤 방식으로 정(regularity)을 향상시키며 더 강력한 존재성 및 유일성 결과를 가능하게 하는가?
• RQ5 α ≥ 1/2 조건은 강한 해 존재성에서 어떤 역할을 하는가? 더 정교한 분석을 통해 이를 완화할 수 있는가?

주요 결과

• 비선형 감쇠가 있는 확률적 3D 나비에-스토크스 방정식에 대해 어떤 β > 1 이든 마팅게일 해가 존재한다.
• β > 3 이며 모든 α > 0 이면 강한 해가 존재하고 유일하며, β = 3 이면 α ≥ 1/2 일 때도 마찬가지다.
• β > 3 이며 모든 α > 0 이면 짧은 시간 LDP가 확립되며, β = 3 이면 α ≥ 1/2 일 때도 마찬가지다.
• LDP 증명에서의 지수 추정에 따르면, 임의의 R > 0 에 대해 P(supₜ|u^ε(t)−v^ε(t)|² > δ) ≤ 3e^{−R/ε} 이며, 이는 lim_{ε→0} ε log P(...) = −∞ 를 의미한다.
• 감쇠 구조의 깊은 분석을 통해 이전의 결정론적 결과를 개선하여 β ≥ 3 일 때 α ≥ 1/2 조건을 완화하였다.
• 컴팩트니스 및 타이트니스 추론과 정지시간 제어를 결합함으로써 근사 수열의 수렴성과 LDP의 타당성을 보장한다.