[논문 리뷰] Stochastic Dynamical Structure (SDS) of Nonequilibrium Processes in the Absence of Detailed Balance. III: potential function in local stochastic dynamics and in steady state of Boltzmann-Gibbs type distribution function

Ping Ao|arXiv (Cornell University)|2008. 04. 02.

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics참고 문헌 13인용 수 32

한 줄 요약

이 논문은 세부 균형이 없는 비평형 확률적 과정에서 동역학적 포텐셜 함수의 존재를 입증하며, 비례성과 반대칭성 성분으로 분리된 드리프트를 갖는 새로운 확률미분방정식 설정을 통해 이를 달성한다. 이는 드리프트 힘의 영점과 정상상태 분포 극값 사이의 노이즈 유도 이동에 대한 첫 번째 해석적 공식을 유도하여, 오랫동안 남아있던 비평형 통계역학의 모순을 해결하고 이전 연구를 더 일반화한다.

ABSTRACT

From a logic point of view this is the third in the series to solve the problem of absence of detailed balance. This paper will be denoted as SDS III. The existence of a dynamical potential with both local and global meanings in general nonequilibrium processes has been controversial. Following an earlier explicit construction by one of us (Ao, J. Phys. {\bf A37}, L25 '04, arXiv:0803.4356, referred to as SDS II), in the present paper we show rigorously its existence for a generic class of situations in physical and biological sciences. The local dynamical meaning of this potential function is demonstrated via a special stochastic differential equation and its global steady-state meaning via a novel and explicit form of Fokker-Planck equation, the zero mass limit. We also give a procedure to obtain the special stochastic differential equation for any given Fokker-Planck equation. No detailed balance condition is required in our demonstration. For the first time we obtain here a formula to describe the noise induced shift in drift force comparing to the steady state distribution, a phenomenon extensively observed in numerical studies. The comparison to two well known stochastic integration methods, Ito and Stratonovich, are made ready. Such comparison was made elsewhere (Ao, Phys. Life Rev. {\bf 2} (2005) 117. q-bio/0605020).

연구 동기 및 목표

• 세부 균형이 없는 비평형 과정에서 국소적이고 전역적인 의미를 모두 지닌 동역학적 포텐셜 함수의 존재를 엄밀히 입증하는 것.
• 이러한 시스템에서 국소적 동역학과 전역적 정상상태 행동을 일관되게 묘사할 수 있는 포텐셜 함수가 존재하는지에 대한 논란을 해결하는 것.
• 주어진 포텐셜 함수를 갖는 확률미분방정식으로의 연결 절차를 명시적으로 제시하는 것.
• 드리프트 힘의 영점과 정상상태 분포 극값 사이의 이동에 대한 정량적 공식을 도출하는 것. 이는 수치적으로 관측되었으나 이전에는 해석적 다루기가 어려웠다.

제안 방법

• Eq. (3)에 제시된 특수한 확률미분방정식을 도입하여 드리프트 힘을 포텐셜의 기울기와 반대칭성 있는 횡방향 성분으로 분해한다.
• φ(q) = -M(q)f(q)를 통해 포텐셜 함수 φ(q)를 정의하며, 여기서 M(q) = [D(q) + Q(q)]⁻¹이며, Q(q)는 f(q)와 D(q)로부터 유도된다.
• 무질량 근사에서 새로운 포텐셜 방정식을 도출하여, 정상상태 분포가 exp(-φ(q)/ε)에 비례함을 명시적으로 보여준다.
• 어떤 주어진 포아송-플랭크 방정식이라도 적절한 M(q), S(q), T(q) 행렬을 식별함으로써 확률미분방정식을 재구성하는 절차를 수립한다.
• 이토와 스트라토노비치 적분 기준을 비교하여 노이즈가 드리프트 힘 이동에 미치는 역할을 명확히 한다.
• 반대칭 행렬 Q(q)가 드리프트 힘의 영점과 포텐셜 극값 사이의 이동을 지배하며, ∇Q = 0 등의 추가 제약 조건이 필요로 하지 않는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 세부 균형이 없는 일반적인 비평형 과정에서도 동역학적 포텐셜 함수가 존재할 수 있는가?
• RQ2 주어진 포아송-플랭크 방정식으로부터 정상상태 분포가 포텐셜 함수를 갖는 확률미분방정식을 체계적으로 구성할 수 있는 방법이 있는가?
• RQ3 드리프트 힘의 영점과 정상상태 분포 극값 사이의 노이즈 유도 이동의 해석적 기원은 무엇인가?
• RQ4 f(q)와 D(q)로부터 유도된 반대칭 행렬 Q(q)는 국소적 동역학과 전역적 정상상태 행동 간의 관계에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 ∇Q = 0 또는 기타 제약 조건을 가정하지 않고도 Eq. (3)을 통한 국소적 동역학과 포아송-플랭크 방정식을 통한 전역적 정상상태 행동 간의 연결을 엄밀히 확립할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 세부 균형이 없더라도 Eq. (3)을 통해 국소적 동역학을 묘사하고 Eq. (7)을 통해 전역적 정상상태 행동을 묘사할 수 있는 동역학적 포텐셜 함수 φ(q)의 존재를 증명한다.
• 드리프트 힘의 영점과 정상상태 분포 극값 사이의 노이즈 유도 이동에 대한 첫 번째 해석적 공식을 도출한다: Δf̄ = -ε(∇ₐₜₜₐQ(q))ᵀ, Eq. (44).
• 이 이동은 오직 반대칭 행렬 Q(q)의 기울기에서 기인하며, 이는 확정적 힘 f(q)와 분산 행렬 D(q)에 모두 의존하며, D(q)가 상태 독립이든 아니든 상관없이 성립한다.
• 이전 연구에서 요구되었던 제약 조건 ∇Q = 0이 필요로 하지 않으며, 이는 이전 결과를 일반화한다.
• 형식은 D(q)가 일정할 경우(즉, 이토와 스트라토노비치 처리가 일치할 경우)에도 상태에 따라 변하는 Q(q)로 인해 이동이 발생할 수 있음을 보여주며, 수치적 관측된 노이즈 유도 분기 현상을 설명한다.
• 정상상태 분포 극값과 탈출률 역학 간의 모순을 해소하기 위해, 정상상태 분포 극값과 탈출 경로 특이점 간의 차이를 명확히 하여, 이 이동이 확률적 적분과 횡방향 동역학의 직접적인 결과임을 보여준다.