[논문 리뷰] Stochastic epidemics in a homogeneous community

Tom Britton, Étienne Pardoux|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 16.

COVID-19 epidemiological studies참고 문헌 4인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 동질적 인구 집단을 대상으로 한 확률적 전염병 모델을 개발하며, 마코프성 및 비마코프성 역학을 포함한 SEIR 프레임워크에 중점을 두고 있다. 분지 과정, 확산 근사, 대규모 편차 이론을 사용하여 최종 전염 범위, 멸종 시간, 임계 공동체 규모에 대한 핵심 결과를 도출한다. 이는 감염 기간의 변동성이 최종 범위의 분산을 크게 증가시키며, 예방접종이 만성 전파를 위한 임계 공동체 규모를 감소시킨다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

These notes describe stochastic epidemics in a homogenous community. Our main concern is stochastic compartmental models (i.e. models where each individual belongs to a compartment, which stands for its status regarding the epidemic under study : S for susceptible, E for exposed, I for infectious, R for recovered) for the spread of an infectious disease. In the present notes we restrict ourselves to homogeneously mixed communities. We present our general model and study the early stage of the epidemic in chapter 1. Chapter 2 studies the particular case of Markov models, especially in the asymptotic of a large population, which leads to a law of large numbers and a central limit theorem. Chapter 3 considers the case of a closed population, and describes the final size of the epidemic (i.e. the total number of individuals who ever get infected). Chapter 4 considers models with a constant influx of susceptibles (either by birth, immigration of loss of immunity of recovered individuals), and exploits the CLT and Large Deviations to study how long it takes for the stochastic disturbances to stop an endemic situation which is stable for the deterministic epidemic model. The document ends with an Appendix which presents several mathematical notions which are used in these notes, as well as solutions to many of the exercises which are proposed in the various chapters.

연구 동기 및 목표

• 폐쇄된 동질적 인구 집단에서 랜덤한 감염 및 잠복기 기간을 가진 SEIR 모델을 사용하여 확률적 전염병 역학을 분석한다.
• 특히 소규모 유행의 경우 분지 과정 근사를 통해 최종 유행 크기의 분포를 유도한다.
• 예방접종이 기본 재생수와 질병 지속을 위한 임계 공동체 규모에 미치는 영향을 조사한다.
• 대규모 편차 이론과 확산 근사를 사용하여 개방형 인구 모델에서 장기적 행동을 연구하고 멸종까지의 시간을 추정한다.
• 감염 기간의 변동성(예: 지수분포 대비 고정 기간)이 최종 유행 크기의 분산과 임계 공동체 규모에 미치는 영향을 정량화한다.

제안 방법

• 감염 접촉 수가 포isson 분포를 따르고 잠복기 및 감염기 기간이 독립적이고 동일하게 분포된 확률적 SEIR 모델을 사용한다.
• 초기 유행 확산을 분석하고 주요 유행 발생 확률을 계산하기 위해 분지 과정 근사를 적용한다.
• 소규모 공동체에서 유한 인구의 최종 크기 분포를 정확히 유도하기 위해 Sellke 구성법을 사용한다.
• 대규모 인구에서 최종 크기의 대칭법칙(LLN)과 중심극한정리(CLT)를 적용하여 극한 평균과 분산을 도출한다.
• 확률적 미분방정식(SDE)을 통한 확산 근사를 사용하여 결정론적 유행 곡선 주변의 가우시안 변동을 모델링한다.
• 대규모 편차 이론과 비용 함수를 적용하여 인구 유입·유출이 있는 개방형 인구 모델에서 멸종까지의 시간을 추정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 폐쇄된 공동체에서 최종 유행 크기의 분포는 무엇이며, 특히 소규모 유행의 경우 어떻게 되는가?
• RQ2 감염 기간의 변동성(예: 지수분포 대비 고정 기간)은 최종 유행 크기의 분산에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 질병이 만성적으로 지속되기 위해 필요한 임계 공동체 규모는 무엇이며, 예방접종과 감염 기간 분포에 의해 어떻게 영향을 받는가?
• RQ4 개방형 모델에서 만성 전파 질병의 멸종까지의 시간은 인구 규모와 전파 매개변수에 따라 어떻게 변화하는가?
• RQ5 예방접종은 효과적 재생수와 질병 지속을 위한 임계 공동체 규모에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• R₀ = 1.5일 때, 극한 평균 최종 유행 크기는 583명이며, Reed–Frost 모델(고정 감염 기간)에서는 표준편차가 41.7이고, 마코프성 SIR 모델(지수분포 감염 기간)에서는 58.0이다.
• 감염 기간이 고정에서 지수분포로 바뀌는 순간, 최종 크기 분산이 약 50% 증가한다. 이는 더 높은 변동계수 때문이므로.
• 감염 기간을 두 배로 늘릴 경우, R₀를 일정하게 유지할 때 임계 공동체 규모 Nc가 4배 감소한다. 반면 R₀를 두 배로 늘일 경우 Nc는 약 2배 감소한다.
• 예방접종은 효과적 재생수를 Rv = R₀(1 − v)로 감소시키며, 비백신화자에 대한 임계 공동체 규모는 Nc(unvacc) → 9 / (ρ²(1 − 1/Rv)²Rv)로 변형되며, 여기서 ρ는 상대 감염 기간을 의미한다.
• 백신 접종자까지 포함한 전체 인구의 임계 공동체 규모는 백신 접종률 v에 따라 급격히 증가한다. 이는 홍역과 같은 질병이 고백신 접종률 지역에서 더 이상 만성 전파되지 않는 이유를 설명한다.
• 결정론적 유행 곡선 주변의 가우시안 변동의 정적 분포의 공분산 행렬을 명시적으로 유도하였으며, 이는 R₀와 ρ에 의존함을 보여주며, ε < 4/R₀ 조건 하에서 이동 행렬의 고유값의 실수부는 음수임을 확인한다.