[논문 리뷰] Stochastic programs without duality gaps for objectives without a lower bound

Ari-Pekka Perkkiö|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 22.

Risk and Portfolio Optimization참고 문헌 19인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 목적 함수에 하한 조건이 필요 없이 확률적 최적화 문제에서 해의 존재성과 이중성 간격의 부재를 입증한다. 국소 martingale 기법과 회귀 함수 분석을 사용한다. 주요 기여는 이전의 이중성 간격 결과에서 요구되던 유계성 조건의 완화로, 금융 최적화에서 유한하지 않은 효용 최적화에의 응용 가능성을 열어준다.

ABSTRACT

This paper studies parameterized stochastic optimization problems in finite discrete time that arise in many applications in operations research and mathematical finance. We prove the existence of solutions and the absence of a duality gap under conditions that relax the boundedness assumption made by Pennanen and Perkkiö in [Stochastic programs without duality gaps, Math. Program., 136(1):91--110,2012]. We apply the result to a utility maximization problem with an unbounded utility.

연구 동기 및 목표

• 목적 함수에 하한 조건이 요구되지 않는 조건에서도 확률적 최적화의 이중성 간격 결과를 확장하는 것.
• 더 약한 적분 가능성 및 볼록성 조건 하에서 최적 가치 함수의 닫힘성과 적절성( properness )을 확립하는 것.
• 유한하지 않은 효용 함수를 가진 유동성 있는 금융 시장에서의 효용 최적화에 대한 존재 결과를 복원하고 일반화하는 것.
• 비유동성 시장에서 비선형 거래비용을 고려한 적용 가능한 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• Rockafellar의 쌍대성 공식화를 사용하여 가치 함수와 그 회귀 함수를 분석한다.
• 특히 효용 최적화의 맥락에서 무한한 적분자를 다루기 위해 국소 martingale 기법을 적용한다.
• 측도 수렴에 대한 $L^0$에서 가치 함수의 닫힘성을 확립하며, 이는 가측성 정규 적분구조에 의존한다.
• 최적 가치 함수의 회귀 함수를 적분구조 $f^\infty$의 회귀 함수로 표현한다.
• 닫힘성을 확보하기 위해 회귀 원뿔 $\mathcal{L} = \{x \in \mathcal{N} \mid f^\infty(x,0) \leq 0\}$ 에 조건을 부과한다.
• 대각선화와 Fatou의 보조정리를 사용하여, 가격과 초깃금액이 유계일 조건 하에서 수렴하는 이중 변수의 수열을 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 목적 함수에 하한 조건이 없이도 확률적 프로그램에서 이중성 간격을 제거할 수 있는가?
• RQ2 하한이 없는 조건에서 $L^0$에서 최적 가치 함수가 닫혀 있고 적절한가?
• RQ3 최적 가치 함수의 회귀 함수는 적분구조의 회귀 함수로 어떻게 특징지을 수 있는가?
• RQ4 이 결과는 효용 함수가 무한한 유동성 있는 시장의 효용 최적화 문제로 확장될 수 있는가?
• RQ5 비유동성 시장 모델에서 비선형 거래비용을 고려할 때 해의 존재를 보장하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 적분 가능 하한과 선형 회귀 원뿔 $\mathcal{L}$ 이 존재할 경우, 최적 가치 함수 $\varphi(u) = \inf_{x \in \mathcal{N}} E f(x,u)$ 는 $L^0$에서 닫혀 있고 적절하다.
• 이중성 간격이 없으며, $f$ 가 하한이 없더라도 모든 $u \in L^0$ 에서 최소값이 도달된다.
• 최적 가치 함수의 회귀 함수는 $\varphi^\infty(u) = \inf_{x \in \mathcal{N}} E f^\infty(x,u)$ 를 만족하며, 새로운 특징화를 제공한다.
• 가격 과정과 초깃금액이 $L^\infty$ 에서 유계일 경우, 논문은 Rásonyi와 Stettner (2015)의 존재 결과를 점근적 탄성 조건 없이 복원한다.
• 양의 martingale 측도 밀도로 수렴하는 이중 변수의 수열이 구성되며, 이는 이중 해의 존재를 보장한다.
• 이 프레임워크는 비선형 비용을 가진 비유동성 시장으로 확장 가능하며, 향후 연구에서 일반화가 이루어질 예정이다.