[논문 리뷰] Stochastic systems with memory and jumps

David Baños, Francesco Cordoni외 3명|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 01.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 22인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 레비 과정의 무한 활성도 점프를 갖는 확률적 기능 지연 미분 방정식(SFDDEs)에 대해 존재성, 유일성 및 모멘트 추정을 정립하며, 무한차원 미적분과 확률적 정규화를 사용한다. 경로에 의존하는 이토 공식을 유도하고, 점프를 보정된 가우시안 노이즈로 대체하는 노이즈 치환에 대한 해의 강건성도 증명한다. 이는 불연속적인 역학을 갖는 시스템에서 기억 효과를 분석할 수 있게 한다.

ABSTRACT

Stochastic systems with memory naturally appear in life science, economy, and finance. We take the modelling point of view of stochastic functional delay equations and we study these structures when the driving noises admit jumps. Our results concern existence and uniqueness of strong solutions, estimates for the moments and the fundamental tools of calculus, such as the Itô formula. We study the robustness of the solution to the change of noises. Specifically, we consider the noises with infinite activity jumps versus an adequately corrected Gaussian noise. The study is presented in two different frameworks: we work with random variables in infinite dimensions, where the values are considered either in an appropriate $L^p$-type space or in the space of càdlàg paths. The choice of the value space is crucial from the modelling point of view as the different settings allow for the treatment of different models of memory or delay. Our techniques involve tools of infinite dimensional calculus and the stochastic calculus via regularization.

연구 동기 및 목표

• 기존의 확률적 미분방정식 이론을 경로에 의존하는 역학을 포함하도록 확장하여 기억 효과를 갖는 확률적 시스템에 대한 엄밀한 프레임워크를 구축하는 것.
• 특히 무한차원 경로 공간에서 점프 기반 SFDDE에 대한 이토 미적분 도구의 부족을 해결하는 것.
• 일반적인 레비 노이즈, 특히 무한 활성도 점프를 포함한 SFDDE에 대해 강한 해의 존재성과 유일성을 증명하는 것.
• 노이즈 치환(점프 노이즈를 보정된 가우시안 노이즈로 대체)에 대한 해의 모멘트 추정과 강건성 확립.
• 정규화 기법을 통해 경로에 의존하는 미적분과 무한차원 미적분을 통합하여 금융 및 생명과학 분야에의 적용 가능성을 높이는 것.

제안 방법

• 무한차원 경로 공간 $\mathcal{D}([-r,0];\mathbb{R}^d)$ 또는 $L^p$-유형 공간에서 기억 효과를 갖는 확률적 시스템을 기능 지연 미분 방정식(SFDDEs)으로 모델링.
• Banach 공간 값 과정에 대해 정규화를 통한 확률적 미적분을 적용하여 확률적 적분을 정의하고, Banach 공간 값 과정에 대한 이토 공식을 도출.
• 뒤로 연장 연산자 $L_t$와 이동 연산자 $M_t$를 사용하여 $\mathcal{D}([0,t];\mathbb{R}^d)$ 위의 경로에 의존하는 함수형에 대해 $\mathcal{D}([-r,0];\mathbb{R}^d) \times \mathbb{R}^d$ 위의 함수형으로 연결.
• 프레셰 미분과 시간 미분을 이용해 수직 및 수평 미분을 표현함으로써 경로에 의존하는 이토 공식을 도출.
• 무한 활성도 점프를 갖는 레비 과정에 의해 구동되는 SFDDE와 보정된 가우시안 노이즈에 의해 구동되는 SFDDE를 비교함으로써 해의 강건성을 확립.
• 최근의 무한차원 확률적 분석에서의 발전을 바탕으로, Banach 공간에서의 제곱변동 개념을 활용하여 무한차원에서의 이토 공식을 일반화.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 점프 확산에 의해 구동되는 기능 지연 미분 방정식(SFDDEs)에 대해 이토 공식을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 무한 활성도 레비 노이즈를 갖는 SFDDE에 대해 강한 해의 존재성과 유일성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 점프 노이즈에 의해 구동되는 SFDDE의 모멘트 추정은 가우시안 노이즈에 의해 구동되는 경우와 어떻게 비교되는가?
• RQ4 어떤 의미에서 SFDDE의 해는 점프 노이즈를 보정된 가우시안 노이즈로 대체할 경우 강건한가?
• RQ5 무한차원 미적분과 정규화 기법을 통해 기억 효과의 경로에 의존하는 성질을 어떻게 체계화하고 분석할 수 있는가?

주요 결과

• 적절한 리프시츠 조건과 성장 조건 하에서, 무한 활성도 점프를 갖는 레비 과정에 의해 구동되는 SFDDE에 대해 강한 해의 존재성과 유일성을 증명하였다.
• 해의 모멘트 추정을 도출하였으며, $p$-번째 모멘트가 시간에 대해 최대 지수적으로 증가함을 보였고, 그 bounds는 노이즈의 특성에 따라 결정됨을 밝혔다.
• 정규화를 통한 확률적 미적분을 사용하여 경로에 의존하는 이토 공식을 도출하였으며, 계수의 적절한 정규성 조건 하에서는 이 공식이 무한차원 이토 공식과 일치함을 확인하였다.
• SFDDE의 해는 노이즈 치환에 대해 강건하다: 점프 노이즈를 적절히 보정된 가우시안 노이즈로 대체하면, 그 해는 $L^p$-노름에서 유사한 값을 갖는다.
• 해의 기능형에 대한 수직 미분은 현재 상태에 대한 미분에 해당하며, 수평 미분은 뒤로 연장 연산자를 통해 과거 경로를 따라 기능형의 미분을 포함한다.
• 이 프레임워크는 전체 과거 경로에 따라 동역학이 결정되는 기억 효과를 갖는 시스템을 모델링할 수 있으며, 적용 맥락에 따라 $L^p$-유형 공간 또는 càdlàg 경로 공간에서의 분석이 가능하다.