[논문 리뷰] Stopping Times and Related Itô's Calculus with G-Brownian Motion

Xinpeng Li, Shigē Péng|arXiv (Cornell University)|2009. 10. 20.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 9인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 적분자가 준연속일 필요가 없는 새로운 스트로복스 적분을 도입하여 $G$-브라운 운동에 대한 새로운 이토 미적분을 수립한다. 이는 정지시간 간격에 대한 이토 적분 정의를 가능하게 하며, 주요 기여는 $C^{1,2}$ 함수에 대한 일반 이토 공식을 증명하는 것으로, 고전적 이토 공식이 제2도함수에 다항식 성장 조건이 없더라도 여전히 성립함을 보여준다.

ABSTRACT

Under the framework of G-expectation and G-Brownian motion, we introduce Itô's integral for stochastic processes without assuming quasi-continuity. Then we can obtain Itô's integral on stopping time interval. This new formulation permits us to obtain Itô's formula for a general C^{1,2}-function, which essentially generalizes the previous results of Peng [20, 21, 22, 23, 24] as well as those of Gao [8] and Zhang et al. [26].

연구 동기 및 목표

• 준연속 과정의 제약을 초월하여 이토 미적분을 $G$-브라운 운동으로 확장하기 위해.
• $G$-기대 하에서 제2도함수에 다항식 성장 조건이 없이도 이토 공식을 제시하는 열린 문제를 해결하기 위해.
• 정지시간 간격에 대한 확률적 적분을 정의하여 이토 미적분의 적용 범위를 넓히기 위해.
• 팽과 펑의 이전 결과를 일반화함으로써 비선형 기대이론의 기초 도구를 수립하기 위해.

제안 방법

• 준연속이 필요하지 않은 새로운 공간 $M_{ullet}^{2}(0,T)$ 의 스트로복스 과정을 도입한다.
• 이 공간에서 적분자가 준연속이 아닐 수도 있는 새로운 이토 적분 $\int_0^t \eta_s dB_s$ 를 정의한다.
• 정지시간 $\tau$ 에 대해 $[0, \tau]$ 와 같은 랜덤 시간 간격으로 이토 적분을 확장하여 경로 기반 적분을 랜덤 시간까지 확장한다.
• 단계적 과정에 의한 근사와 $M_{ullet}^{2}(0,T)$ 에서의 수렴을 이용해 일반 이토 공식을 유도한다.
• 유계이고 단계적인 과정의 수열에 대한 극한 논증을 통해 일반화된 이토 공식을 $C^{1,2}$ 함수에 적용한다.
• $G$-정규분포와 하중선형 기대의 성질을 활용하여 적분의 안정성과 수렴성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이토 적분은 $G$-브라운 운동의 맥락에서 준연속이 아닌 과정에 대해서도 정의될 수 있는가?
• RQ2 제2도함수에 다항식 성장 조건이 없이도 이토 공식은 $C^2$ 함수에 대해 성립하는가?
• RQ3 $G$-기대 프레임워크에서 정지시간 간격에 대한 확률적 적분은 의미 있게 정의될 수 있는가?
• RQ4 이토 적분 $\int_0^\cdot \eta_s dB_s$ 가 마틴갈 또는 국소마틴갈이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ5 어떻게 하면 $G$-브라운 운동 이론을 일반 $C^{1,2}$ 함수를 포함하는 이토 공식으로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 적분자 $\eta_t$ 가 준연속이 아닐 수도 있음에도 불구하고 이토 적분 $\int_0^t \eta_s dB_s$ 는 잘 정의되어 있으며, 확률적 적분의 정의역이 확장된다.
• 정지시간 간격 $[0, \tau]$ 에 대한 이토 적분이 엄밀히 정의되어 랜덤 수명 문제의 처리가 가능해진다.
• 모든 $\varphi \in C^2$ 에 대해 일반 이토 공식이 증명되었으며, $\varphi(B_t) - \varphi(B_{t_0}) = \int_{t_0}^t \varphi_x(B_s) dB_s + \frac{1}{2}\int_{t_0}^t \varphi_{xx}(B_s) d\langle B\rangle_s$ 가 성립함을 보였다.
• $M_{ullet}^{2}(0,T)$ 에서 단계적 과정의 수렴은 이토 공식의 극한에서의 안정성을 보장한다.
• 메쉬 크기가 0으로 갈수록 오차 항이 사라지도록, $L^2$-유형 노름에서의 균일 유계성과 수렴성에 기반한 증명이 이루어졌으며, 이는 $G$-기대 하에서 성립한다.
• 이론은 팽의 이전 결과를 제2도함수에 성장 제약 없이 일반화함으로써 오랫동안 남아있던 $G$-확률적 미적분의 격차를 메운다.