[논문 리뷰] Stratification by itineraries of spaces of locally convex curves

Victor Goulart, Nicolau C. Saldanha|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 02.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 31인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 '행보( itinerary )'—비공개 브하트 셀의 순서를 코딩한 단어—를 사용하여 $Spin_{n+1}$ 내 국소적으로 볼록한 곡선의 공간을 분할한다. 각 분할 영역이 유한 코디멘션을 가지며 가(contractible) 위상다양체임을 증명하고, 이는 원래 곡선 공간에 대해 약한 호모토피 동치를 갖는 CW 복합체를 구성할 수 있도록 한다. 또한 샤피로와 샤피로의 추측—해당 곡선 공간의 구조에 관해—를 해결한다.

ABSTRACT

Locally convex (or nondegenerate) curves in the sphere (or projective space) have been studied for several reasons, including the study of linear ordinary differential equations. Taking Frenet frames allows us to translate such curves into corresponding curves in the flag space, the orthogonal group or its cover $Spin_{n+1}$. Determining the homotopy type of the space of such closed curves or, more generally, of spaces of such curves with prescribed initial and final jets appears to be a hard problem, which has been solved for $n=2$ but otherwise remains open. This paper is a step towards solving the problem for larger values of $n$. In the process, we prove a related conjecture of B. Shapiro and M. Shapiro. We define the itinerary of a locally convex curve $\Gamma:[0,1] o Spin_{n+1}$ as a word $w$ in the alphabet of non-trivial permutations. This word encodes the succession of non-open Bruhat cells of $Spin_{n+1}$ pierced by $\Gamma$. We prove that, for each word $w$, the subspace of curves of itinerary $w$ is an embedded contractible (topological) submanifold of finite codimension, thus defining a stratification of the space of curves. We show how to obtain explicit (topologically) transversal sections for each of these submanifolds. We study both a space of curves with minimum regularity hypotheses, where only topological transversality applies, and spaces of sufficiently regular curves. In both cases we study the neighboring relation between strata. This is an important step in the construction of CW cell complexes mapped into the original space of curves by weak homotopy equivalences. Our stratification is not as nice as might be desired, lacking for instance the Whitney property. The differentiability class of the curves affects some properties of the stratification. The necessary ingredients for the construction of a dual CW complex are proved.

연구 동기 및 목표

• 닫힌 국소적으로 볼록한 곡선의 공간의 호모토피 유형을 이해하는 것—$n > 2$일 경우 열려 있는 문제이다.
• 곡선이 지나는 브하트 셀의 순서를 기반으로 한 분할, 즉 '행보'를 정의하고 분석하는 것.
• 고정된 행보에 의해 정의된 각 분할 영역이 유한 코디멘션을 가지며 수축 가능한 위상다양체임을 증명하는 것.
• 각 분할 영역에 대해 명시적인 횡단면을 구성할 수 있는 조건을 설정하는 것.
• 원래 곡선 공간과 약한 호모토피 동치인 이중 CW 복합체를 구성하기 위한 기초 도구를 제공하는 것.

제안 방법

• 곡선 $\Gamma: [0,1] \to Spin_{n+1}$의 행보를 비자명한 순열로 이루어진 단어로 정의하여, 곡선이 지나는 비공개 브하트 셀의 순서를 코딩한다.
• 각 행보 단어 $w$에 대해, 행보 $w$를 갖는 곡선의 집합이 곡선 공간 내에서 유한 코디멘션을 가지는 위상다양체임을 증명한다.
• 곡선의 정규성에 따라 다를 수 있는 위상적 및 미분기법을 사용하여, 각 such 다양체가 수축 가능하다는 것을 보인다.
• 각 분할 영역에 대해 명시적인(위상적으로) 횡단면을 구성하여, 분할의 국소적 분석을 가능하게 한다.
• 분할 영역 간의 인접 관계를 분석하여, 분할의 전반적 구조를 이해한다.
• 분할을 이용하여 원래 곡선 공간에 대해 약한 호모토피 동치를 갖는 이중 CW 복합체를 구축한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소적으로 볼록한 곡선의 공간을, 곡선이 지나는 브하트 셀의 순서를 반영하는 방식으로 분할할 수 있는가?
• RQ2 고정된 행보에 의해 정의된 분할 영역이 수축 가능하고 유한 코디멘션을 가지는가?
• RQ3 곡선의 정규성 조건이 분할 영역의 미분 가능성과 횡단성 성질에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 각 분할 영역에 대해 명시적인 횡단면을 구성하여 향후 호모토피 분석을 지원할 수 있는가?
• RQ5 이 분할이 원래 공간에 대해 약한 호모토피 동치를 갖는 CW 복합체를 구성하는 데 기여하는가?

주요 결과

• 고정된 행보 단어 $w$에 대응하는 각 분할 영역은 곡선 공간 내에 임베딩되어 있고, 수축 가능하며, 유한 코디멘션을 가지는 위상다양체이다.
• 분할은 윌리엄스 정규성이 아니며, 표준 분할 모스 이론에 필요한 일부 매끄러움 성질을 갖지 못함을 나타낸다.
• 각 분할 영역에 대해 명시적인 위상적 횡단면이 존재하여, 분할의 구조를 국소적으로 연구할 수 있다.
• 분할의 구성은 곡선의 미분 계열에 의존하며, 이는 분할 영역의 정규성과 횡단성에 영향을 준다.
• 이 분할은 원래 곡선 공간과 약한 호모토피 동치인 이중 CW 복합체를 구성하는 데 필요한 요소들을 제공한다.
• 논문은 B. 샤피로와 M. 샤피로가 제기한 추측—특히 행보 기반 분할과 관련된 해당 곡선 공간의 구조에 관해—를 확인한다.