[논문 리뷰] Stretching Demi-Bits and Nondeterministic-Secure Pseudorandomness

Iddo Tzameret, Luming Zhang|arXiv (Cornell University)|2023. 04. 28.

Benford’s Law and Fraud Detection인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 Rudich(1997) 이래로 열려 있던 문제를 해결함으로써 비결정론적-안전한 가역난수성 이론을 발전시킨다. 모든 디미비트 생성기(demi-bit generator)가 하위선형적으로 많은 디미비트로 확장될 수 있음을 증명하며, 비결정론적 예측 불가능성에 기반한 슈퍼비트(super-bits)의 새로운 특성화를 제안하고, 슈퍼코어 예측자(super-core predicates)를 도입하여 비결정론적 환경에서 하드코어 예측자(hard-core predicates)와 연결한다. 이는 평균복잡도 이론과 증명복잡도 이론에 응용된다.

ABSTRACT

We develop the theory of cryptographic nondeterministic-secure pseudorandomness beyond the point reached by Rudich’s original work [S. Rudich, 1997], and apply it to draw new consequences in average-case complexity and proof complexity. Specifically, we show the following: Demi-bit stretch: Super-bits and demi-bits are variants of cryptographic pseudorandom generators which are secure against nondeterministic statistical tests [S. Rudich, 1997]. They were introduced to rule out certain approaches to proving strong complexity lower bounds beyond the limitations set out by the Natural Proofs barrier of Razborov and Rudich [A. A. Razborov and S. Rudich, 1997]. Whether demi-bits are stretchable at all had been an open problem since their introduction. We answer this question affirmatively by showing that: every demi-bit b:{0,1}ⁿ → {0,1}^{n+1} can be stretched into sublinear many demi-bits b':{0,1}ⁿ → {0,1}^{n+n^{c}}, for every constant 0 < c < 1. Average-case hardness: Using work by Santhanam [Rahul Santhanam, 2020], we apply our results to obtain new average-case Kolmogorov complexity results: we show that K^{poly}[n-O(1)] is zero-error average-case hard against NP/poly machines iff K^{poly}[n-o(n)] is, where for a function s(n):ℕ → ℕ, K^{poly}[s(n)] denotes the languages of all strings x ∈ {0,1}ⁿ for which there are (fixed) polytime Turing machines of description-length at most s(n) that output x. Characterising super-bits by nondeterministic unpredictability: In the deterministic setting, Yao [Yao, 1982] proved that super-polynomial hardness of pseudorandom generators is equivalent to ("next-bit") unpredictability. Unpredictability roughly means that given any strict prefix of a random string, it is infeasible to predict the next bit. We initiate the study of unpredictability beyond the deterministic setting (in the cryptographic regime), and characterise the nondeterministic hardness of generators from an unpredictability perspective. Specifically, we propose four stronger notions of unpredictability: NP/poly-unpredictability, coNP/poly-unpredictability, ∩-unpredictability and ∪-unpredictability, and show that super-polynomial nondeterministic hardness of generators lies between ∩-unpredictability and ∪-unpredictability. Characterising super-bits by nondeterministic hard-core predicates: We introduce a nondeterministic variant of hard-core predicates, called super-core predicates. We show that the existence of a super-bit is equivalent to the existence of a super-core of some non-shrinking function. This serves as an analogue of the equivalence between the existence of a strong pseudorandom generator and the existence of a hard-core of some one-way function [Goldreich and Levin, 1989; Håstad et al., 1999], and provides a first alternative characterisation of super-bits. We also prove that a certain class of functions, which may have hard-cores, cannot possess any super-core.

연구 동기 및 목표

• 디미비트가 원래 출력 크기보다 더 크게 확장될 수 있는지 여부라는 열린 문제를 해결하기 위해.
• 더 강력한 예측 불가능성 개념을 통해 가역난수 생성기의 비결정론적 난이도를 특성화하기 위해.
• 하드코어 예측자의 비결정론적 해석으로서의 슈퍼코어 예측자를 도입하고 연구하기 위해.
• 결과를 바탕으로 새로운 평균복잡도 콜모고로프 복잡도 결과를 도출하고 증명복잡도 이론에 영향을 미치기 위해.
• 비존재 가정 하에 PAC학습과 회로학습과의 연결을 통해 디미비트의 존재성을 정당화하기 위해.

제안 방법

• 비결정론적 난이도를 특성화하기 위해 NP/poly-, coNP/poly-, ∩-, ∪-예측 불가능성이라는 네 가지 새로운 예측 불가능성 개념을 도입한다.
• 임의의 디미비트 b: {0,1}^n → {0,1}^{n+1}를 b': {0,1}^n → {0,1}^{n+nc}로 변환하는 확장 구조를 개발하며, 여기서 0 < c < 1이다.
• 하드코어 예측자의 비결정론적 해석으로서 슈퍼코어 예측자를 제안하고, 슈퍼비트 존재성과 슈퍼코어 예측자 존재성 간의 동치성을 보여준다.
• Santhanam의 평균복잡도 이론 결과를 적용하여, Kpoly[n−O(1)]이 NP/poly에 대해 0-오차 평균복잡도 난이도를 가진다는 것과 Kpoly[n−o(n)]이 동일 조건을 만족한다는 것이 동치임을 보인다.
• 디미비트의 비존재를 이용하여, 랜덤화 회로 크기 2^{no(1)}인 회로를 통해 Circuit[nc]를 고도의 신뢰도로 학습 가능한 알고리즘을 유도한다.
• i.o. 디미비트의 비존재와 PAC학습 간의 연결을 활용하여, 작은 회로를 학습하는 것이 가능함을 보여주며, 디미비트가 존재하지 않는 한 성립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 디미비트는 하위선형적으로 많은 디미비트로 확장될 수 있는가? 이는 가역난수 이론에서 오랫동안 열려 있던 문제이다.
• RQ2 결정론적 다음비트 모델을 초월하여, 비결정론적 예측 불가능성의 관점에서 슈퍼비트는 어떻게 특성화될 수 있는가?
• RQ3 비결정론적 환경에서 하드코어 예측자의 역할은 무엇이며, 슈퍼비트와의 관계는 어떠한가?
• RQ4 슈퍼비트와 디미비트 확장 가능성의 평균복잡도 결과는 무엇인가?
• RQ5 디미비트의 비존재가 작은 회로 학습과 PAC학습에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 모든 디미비트 b: {0,1}^n → {0,1}^{n+1}는 임의의 0 < c < 1에 대해 b': {0,1}^n → {0,1}^{n+nc}로 확장될 수 있으며, 이는 확장 가능성 문제를 해결한다.
• 어떤 비수축 함수에 대해 슈퍼비트 존재성은 슈퍼코어 예측자 존재성과 동치이다.
• 가역난수 생성기의 비결정론적 난이도는 ∩-예측 불가능성과 ∪-예측 불가능성 사이에 있으며, 네 가지 새로운 예측 불가능성 개념이 도입된다.
• 주어진 가정 하에 Kpoly[n−O(1)]이 NP/poly에 대해 0-오차 평균복잡도 난이도를 가진다는 것과 Kpoly[n−o(n)]이 동일 조건을 만족한다는 것이 동치이다.
• i.o. 디미비트의 비존재는 Circuit[nc]가 2^{no(1)} 크기의 랜덤화 회로를 통해 신뢰도 1/2^{no(1)}로 학습 가능하며 오차 1/2−1/2^{no(1)}로 학습 가능하다는 것을 의미한다.
• i.o. 디미비트가 존재한다면, ÑP/qpoly-자연증거가 존재하지 않는 가정 하에 i.o. 슈퍼비트도 반드시 존재해야 한다.