[논문 리뷰] Strong and weak (1, 2) homotopies on knot projections and new invariants

Noboru Ιτο, Yusuke Takimura|arXiv (Cornell University)|2020. 11. 14.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 6인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 제2평탄 리드미어 이동을 방향성에 따라 자기접선 수정으로 분해함으로써, 링크 투성에 대해 강한 및 약한 (1,2) 호모토피를 도입하고, 비시페르트 (A⁻¹) 해상으로 새로운 불변량을 정의한다. 감소된 링크 투성을 통해 강한 및 약한 (1,2) 호모토피 동치성에 대한 필요 및 충분 조건을 확립하며, 강한 호모토피와 약한 호모토피에 대해 서로 다른 자명화 클래스를 구별하는 정수 값을 갖는 불변량을 구축한다.

ABSTRACT

Every second flat Reidemeister move of knot projections can be decomposed into two types thorough an inverse or direct self-tangency modification, respectively called strong or weak, when orientations of the knot projections are arbitrarily provided. Further, we introduce the notions of strong and weak (1, 2) homotopies; we define that two knot projections are strongly (resp. weakly) (1, 2) homotopic if and only if two knot projections are related by a finite sequence of first and strong (resp. weak) second flat Reidemeister moves. This paper gives a new necessary and sufficient condition that two knot projections are not strongly (1, 2) homotopic. Similarly, we obtain a new necessary and sufficient condition in the weak (1, 2) homotopy case. We also define a new integer-valued strong (1, 2) homotopy invariant. Using it, we show that the set of the non-trivial prime knot projections without 1-gons that can be trivialized under strong (1, 2) homotopy is disjoint from that of weak (1, 2) homotopy. We also investigate topological properties of the new invariant and give its generalization, a comparison of our invariants and Arnold invariants, and a table of invariants.

연구 동기 및 목표

• 강한 또는 약한 (1,2) 호모토피에 대해 두 링크 투성이 동치가 되는 데 필요한 및 충분한 조건에 관한 미해결 문제를 해결하기 위해.
• 이러한 호모토피 관계 하에서 링크 투성을 분류하기 위한 새로운 불변량을 정의하고 분석하기 위해.
• 강한 (1,2) 호모토피와 약한 (1,2) 호모토피 하에서 자명화 가능한 소수 링크 투성의 집합을 구별하기 위해.
• 비시페르트 해상으로 일반화된 위상 불변량을 정의하고, 이를 아르놀트 불변량과 원형 배열과 연결하기 위해.

제안 방법

• 방향성 호환성에 기반해 제2평탄 리드미어 이동을 강한 및 약한 자기접선 수정으로 분해한다.
• 첫 번째 평탄 리드미어 이동과 강한/약한 제2이동의 순서를 통해 강한 및 약한 (1,2) 호모토피를 도입한다.
• 각 이중점에서 비시페르트 (A⁻¹) 해상으로 정의된, 방향성과 무관한 정수 값을 갖는 새로운 불변량 τ(P)를 정의한다.
• 강한 및 약한 (1,2) 호모토피에 대해 링크 투성을 분류하기 위해 불변량 τ(P)를 적용하며, 특히 1-삼각형이 없는 소수 투성에 중점을 둔다.
• 원형 배열과 현도표를 사용하여 링크 투성의 위상적 구조를 표현하고 분석한다.
• 접합합을 소수 링크 투성으로 변환하면서 불변량을 유지하는 s2a 및 1a 연산을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 링크 투성이 강하게 (1,2) 호모토피일 때 필요한 및 충분한 조건은 무엇인가?
• RQ2 두 링크 투성이 약하게 (1,2) 호모토피일 때 필요한 및 충분한 조건은 무엇인가?
• RQ3 새로운 정수 값을 갖는 불변량이 강한 (1,2) 호모토피와 약한 (1,2) 호모토피 하에서 자명화 가능한 링크 투성을 구별할 수 있는가?
• RQ4 RI 및 강한/약한 RIIs에서 비시페르트 해상 (A⁻¹)은 어떻게 행동하며, 어떤 불변량을 유도하는가?
• RQ5 1-삼각형이 없는 소수 링크 투성에서 원형 배열의 구조는 어떠한가, 그리고 이는 호모토피 동치류와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 두 링크 투성이 강하게 (또는 약하게) (1,2) 호모토피일 때, 그들의 강한 (또는 약한) 감소된 투성이 서로 위상동형일 때이고 뿐이다.
• 불변량 τ(P)는 정수 값을 갖는 강한 (1,2) 호모토피 불변량이며, 자명화 클래스를 구별한다: 강한 (1,2) 호모토피 하에서 자명화 가능한 비자명한 소수 링크 투성의 집합은 약한 (1,2) 호모토피 하에서 자명화 가능한 집합과 서로소이다.
• 임의의 링크 투성 P에 대해 τ(P) ≤ 2 이면 τ(P) = 1 이고, τ(4₁) = 1 이므로 τ(P)는 일부 비자명한 투성에서 비자명하다.
• 임의의 원형 배열 s는 트리플렛과 6₃ 투성의 접합합을 통해 구성된 후 s2a 또는 (1a)(s2a) 연산을 적용함으로써 어떤 소수 링크 투성 P에 대해 τ(P) = s 로 실현될 수 있다.
• 1-삼각형이 없는 소수 링크 투성의 원형 불변량 표는 7_A, 7_B, 7_C 등의 기호를 포함하며, 롤프센 표를 플라이프를 통해 유도한다.
• 표에서 's' 또는 'w'로 표시된 선은 1a 및 s2a (또는 w2a) 이동의 순서가 두 투성을 연결함을 나타내며, 이는 강한 또는 약한 호모토피 관계를 반영한다.