[논문 리뷰] Structure and asymptotics for Motzkin numbers modulo small primes using automata

Rob Burns|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 24.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 29 이하의 소수에 대해 모츠킨 수의 점근 밀도와 구조적 패턴을 자동기계 이론적 방법을 사용해 분석한다. 로우들 및 야스와이의 프레임워크에 기반한 자동기계를 구성함으로써, 7, 17, 19에 대해선 1과 같은 정확한 점근 밀도를 도출하고, 29에 대해선 22/3045의 밀도를 산출한다. 또한 $ M_n \equiv 0 \mod p $가 되는 조건을 결정하는 소수 기반 전개에서 반복되는 형태를 규명하며, 밀도가 항상 1 또는 $ \frac{2}{p(p-1)} $임을 밝혀내지만, 29는 뚜렷한 예외임을 확인한다.

ABSTRACT

We establish the asymptotic density and some structure results for the Motzkin numbers modulo primes up to 29 using automata.

연구 동기 및 목표

• 29 이하의 소수 $ p $에 대해 모츠킨 수 $ M_n \equiv 0 \mod p $의 점근 밀도를 결정함으로써, 작은 소수에 대한 이전 연구를 확장한다.
• 자기 상태 다이어그램을 활용해 $ M_n \equiv 0 \mod p $가 되는 조건에 해당하는 $ n $의 밑-$ p $ 전개에서의 구조적 패턴을 규명한다.
• 점근 밀도 $ S_p(0) $가 작은 소수에서 관찰된 바와 같이 $ \frac{2}{p(p-1)} $ 또는 1의 패턴을 따르는지 조사한다.
• 자동기계가 $ M_n \mod p $의 점근 밀도를 계산하고, 반복되는 구조적 패턴을 드러내는 데 효과적인 도구임을 보여준다. 이는 더 큰 소수에 대해서도 적용 가능하다.

제안 방법

• 로우들 및 야스와이(2013)의 알고리즘을 사용해 모츠킨 수의 생성함수로부터 유한 상태 기계를 생성함으로써, $ M_n \mod p $에 대한 자동기계를 구성한다.
• 이 자동기계의 상태 전이 다이어그램을 분석하여 출력이 0인 상태로 이르는 모든 경로를 식별함으로써, $ M_n \equiv 0 \mod p $에 해당하는 경우를 파악한다.
• 특히 28과 27과 같은 숫자 조합을 포함한 블록을 갖는 $ n $의 밑-$ p $ 자릿수 패턴을 분석함으로써, $ M_n \equiv 0 \mod p $가 되는 $ n $의 집합을 규명한다.
• 각 잔여류에 대한 밀도를 정확하게 계산하기 위해, [1]의 정리 4를 적용함으로써 집합 $ \{ (qi + r)q^{sj + t} \} $의 밀도를 도출한다.
• 특히 특정 템플릿(그림 9)과 유사한 하위그래프를 분석하여 밀도의 하한을 확인함으로써 결과를 검증한다.
• 기호 계산을 활용해 큰 자동기계(예: $ p=29 $의 경우 29개 상태)를 처리함으로써, 전이를 전수 조사하지 않고도 상태 전이의 구조적 패턴에 집중한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 7에서 29 사이의 소수 $ p $에 대해 $ M_n \equiv 0 \mod p $의 점근 밀도는 무엇이며, 작은 소수에서 관찰된 바와 같이 $ \frac{2}{p(p-1)} $ 또는 1의 패턴을 따르는가?
• RQ2 자기 상태 다이어그램에서 유도할 수 있는, $ M_n \equiv 0 \mod p $에 해당하는 $ n $의 밑-$ p $ 전개에서의 구조적 형태는 무엇이며, 이를 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ3 모츠킨 수 $ M_n \mod p $에 대한 자동기계는 항상 출력이 0인 순환 상태를 포함하며, 초기 상태가 아닌 다른 두 상태도 항상 출력이 0인가? 모든 경우에서 관찰된 바와 같이 일관된가?
• RQ4 점근 밀도 $ S_p(0) $는 항상 $ \frac{2}{p(p-1)} $ 이상으로 하한이 설정되는가? 이는 자동기계의 어떤 구조적 조건에서 성립하는가?
• RQ5 예를 들어 $ p=29 $의 경우와 같이 최소 점근 밀도 $ \frac{2}{p(p-1)} $를 유도하는 일반적인 구조적 템플릿(예: 하위그래프 패턴)이 자동기계에 존재하는가?

주요 결과

• 모츠킨 수 $ M_n \equiv 0 \mod 7 $의 점근 밀도는 1이며, 이는 $ n = 7^k - 2 $일 때 정확히 성립한다.
• $ p = 11 $의 경우, $ S_{11}(0) $의 점근 밀도는 $ \frac{1}{55} = \frac{2}{10 \cdot 11} $이며, $ \frac{2}{p(p-1)} $ 패턴과 일치한다.
• $ p = 13 $의 경우, $ S_{13}(0) $의 점근 밀도는 $ \frac{1}{78} = \frac{2}{12 \cdot 13} $이며, 다시 $ \frac{2}{p(p-1)} $ 공식과 일치한다.
• $ p = 17 $의 경우, $ S_{17}(0) $의 점근 밀도는 1이며, $ M_n \equiv 0 \mod 17 $는 $ n = 17^{2k} - 2 $일 때 성립한다.
• $ p = 19 $의 경우, $ S_{19}(0) $의 점근 밀도는 1이며, $ M_n \equiv 0 \mod 19 $는 $ n = 19^k - 2 $일 때 성립한다.
• $ p = 29 $의 경우, $ S_{29}(0) $의 점근 밀도는 $ \frac{22}{3045} > \frac{2}{28 \cdot 29} $이며, 이는 $ \frac{2}{p(p-1)} $ 패턴이 항상 성립하지 않음을 보여주며, 이 밀도는 $ n $의 4가지 별개의 밑-29 형태에서 유도된다.