[논문 리뷰] Structure Preserving Equivalent Martingale Measures for SCII Models

David Criens|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 08.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 51인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 조건부로 독립적인 증분을 갖는 semimartingale 모형에서, 구조를 보존하는 등가 마르팅게일 측도(M^sp)와 가측성 및 적분 가능성을 만족하는 함수들의 집합(Y) 사이의 일대일 대응을 수립한다. M^sp가 공집합이 아님과 동시에 Y가 공집합이 아님은 동치이며, 이 둘을 구동 과정의 semimartingale 특성과 연결하여, Lévy 및 시간에 따라 변화하는 Lévy 모형에서 존재 조건을 명시적으로 도출한다.

ABSTRACT

In this article we relate the set of structure preserving equivalent martingale measures (\mathcal{M}^ extup{sp}) for financial models driven by semimartingales with conditionally independent increments to a set of measurable and integrable functions (\mathcal{Y}). More precisely, we prove that (\mathcal{M}^ extup{sp} ot = \emptyset) if and only if (\mathcal{Y} ot = \emptyset), and connect the sets (\mathcal{M}^ extup{sp}) and (\mathcal{Y}) to the semimartingale characteristics of the driving process. In addition we consider integrated L\'evy models with independent stochastic factors and time-changed L\'evy models and derive mild explicit conditions for (\mathcal{M}^ extup{sp} ot = \emptyset).

연구 동기 및 목표

• 조건부로 독립적인 증분을 갖는 semimartingale에 의해 구동되는 금융 모형에서, 구조를 보존하는 등가 마르팅게일 측도(M^sp)의 집합을 특성화하는 것.
• M^sp와 가측성 및 적분 가능성을 만족하는 함수들의 집합(Y) 사이의 정확한 대응 관계를 수립하는 것.
• M^sp의 존재성을 기반 과정의 semimartingale 특성과 연결하는 것.
• 통합 Lévy 및 시간에 따라 변화하는 Lévy 모형에서 M^sp가 공집합이 아님을 보장하는 온건하고 명시적인 조건을 도출하는 것.

제안 방법

• 저자들은 semimartingale 특성 이론을 활용하여, 구조를 보존하는 마르팅게일 측도를 가측성 및 적분 가능성을 만족하는 함수 집합 Y와 연결한다.
• M^sp를 측도 변화 하에 semimartingale 구조를 유지하는 등가 마르팅게일 측도의 집합으로 정의한다.
• 핵심 기술적 단계는 이러한 측도의 Radon-Nikodým 도함수를 semimartingale의 예측 가능 특성에 따라 표현하는 것이다.
• M^sp의 존재성은 특정 적분 가능성 및 가측성 조건을 만족하는 적분 가능 함수들의 비공집합 Y의 존재성으로 환원된다.
• 분석은 특성들이 명시적으로 알려진 통합 Lévy 모형과 시간에 따라 변화하는 Lévy 모형에 적용된다.
• 이 특정 모형들에서의 예측 가능 특성의 구조를 활용하여, M^sp의 비공집합 조건을 명시적으로 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 조건부로 독립적인 증분을 갖는 semimartingale 모형에서, 구조를 보존하는 등가 마르팅게일 측도가 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 구조를 보존하는 등가 마르팅게일 측도의 집합은 가측성 및 적분 가능성을 만족하는 함수 Y의 집합과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 semimartingale 특성이 M^sp의 존재성을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 통합 Lévy 및 시간에 따라 변화하는 Lévy 모형에서 M^sp가 공집합이 아님을 보장하는 명시적이고 온건한 조건은 무엇인가?

주요 결과

• M^sp가 공집합이 아님과 동시에 Y의 가측성 및 적분 가능성을 만족하는 함수들의 집합이 공집합이 아님은 동치이다.
• 구조를 보존하는 등가 마르팅게일 측도의 존재성은 집합 Y 내의 해의 존재성에 의해 완전히 특성화된다.
• 구동 과정의 semimartingale 특성이 M^sp와 Y의 구조를 직접적으로 결정한다.
• 통합 Lévy 모형에서는 M^sp ≠ ∅ 조건이 특성 지수와 Lévy 측도의 적분 가능성 조건으로 환원된다.
• 시간에 따라 변화하는 Lévy 모형에서는 시간 변화와 Lévy 과정에 대한 명시적인 온건한 조건이 M^sp ≠ ∅를 보장한다.
• 이 틀은 측도 변화의 전체 사양 없이도 M^sp의 존재성을 검증하는 체계적인 방법을 제공한다.