[논문 리뷰] Sub-critical and Super-critical Regimes in Epidemic Models of Earthquake Aftershocks

Agnès Helmstetter, Didier Sornette|2001. 09. 18.

Complex Systems and Time Series Analysis인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 전염병 유형의 후진열 시퀀스(ETAS) 모델을 분석하여 분지 파rameter $ n $ 가 $ n<1 $ 인 부분 임계($ n<1 $) 및 $ n>1 $ 인 초임계($ n>1 $) 상태로의 전이를 제어함을 보여준다. 특징적인 시간 $ t^* $ 가 조기 시간의 오모리 감쇠($ 1-\theta $) 와 후기 시간 행동 사이의 전환점을 나타내며, $ n<1 $ 일 경우의 멱법칙 감쇠 또는 $ n>1 $ 일 경우의 폭발적 지수 증가를 설명함으로써 실제 후진열 시퀀스에서 관찰되는 지진 정지 및 가속 패턴을 이론적으로 설명한다.

ABSTRACT

We present an analytical solution and numerical tests of the epidemic-type aftershock (ETAS) model for aftershocks, which describes foreshocks, aftershocks and mainshocks on the same footing. The occurrence rate of aftershocks triggered by a single mainshock decreases with the time from the mainshock according to the modified Omori law K/(t+c)^p with p=1+theta. A mainshock at time t=0 triggers aftershocks according to the local Omori law, that in turn trigger their own aftershocks and so on. The effective branching parameter n, defined as the mean aftershock number triggered per event, controls the transition between a sub-critical regime n&lt;1 to a super-critical regime n&gt;1. In the sub-critical regime, we recover and document the crossover from an Omori exponent 1-theta for t1 and theta&gt;0, we find a novel transition from an Omori decay law with exponent 1-theta fot tt*. The case theta&lt;0 yields an infinite n-value. In this case, we find another characteristic time tau controlling the crossover from an Omori law with exponent 1-theta for t

연구 동기 및 목표

• 분석적 및 수치적 방법을 사용하여 전염병 유형의 후진열 시퀀스(ETAS)에서 부분 임계 및 초임계 상태 간의 전이를 이해하기.
• 이벤트당 평균 후진열 수로 정의된 효과적 분지 파rameter $ n $ 이 상태 전이를 제어하는 역할을 규명하기.
• 조기 시간 동역학에서 장기 시간 행동으로의 전이를 나타내는 특징적인 시간 $ t^* $ 를 특정하기.
• 실제 후진열 시퀀스에서 관찰되는 지진 활동 패턴(예: 주지진 전 지진 정지 및 주지진 후 가속)을 ETAS 모델로 설명하기.
• 후진열 시퀀스에서 관측된 $ b $-값과 $ p $-값 간의 상관관계 및 큰 지진 전에 $ b $-값 감소 현상을 설명하기.

제안 방법

• 단일 주지진이 생성하는 전역 후진열 시퀀스의 지진 활동률에 대한 분석적 해를 개발한다.
• 후진열 유도율을 모델링하기 위해 수정된 오모리 법칙 $ K/(t+c)^p $ 를 사용하며, 여기서 $ p $-값은 $ \theta $ 로부터 유도된다. $ p = 1 + \theta $.
• 이론적 분지 파rameter $ n $ 을 이벤트당 유도된 후진열의 평균 수로 정의하며, $ \theta $, $ \theta = p - 1 $, 및 크기 스케일링 $ 10^{\theta m} $ 에 따라 달라진다.
• 모든 세대의 유도된 사건에 대한 합으로 총 지진 활동률을 계산하기 위해 분지 과정 형식을 적용한다.
• ETAS 모델의 파rameter에 따라 특징적인 시간 $ t^* $ 를 유도하며, 이는 조기 시간 동역학과 장기 시간 동역학 간의 전이를 나타낸다.
• 특히 초임계 상태에서 분석 예측의 정당성을 검증하기 위해 합성 카탈로그의 수치 시뮬레이션을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ETAS 모델에서 지진 활동률은 시간이 지남에 따라 어떻게 변화하는가? 특히 분지 파arameter $ n $ 와의 관계에서 어떻게 변화하는가?
• RQ2 특징적인 시간 $ t^* $ 는 후진열 시퀀스에서 조기 시간 행동에서 장기 시간 행동으로의 전이를 어떻게 규제하는가?
• RQ3 모델은 왜 큰 지진 전에 지진 활동이 가속되는 것으로 관측되는가를 어떻게 설명하는가?
• RQ4 어떤 시퀀스에서는 큰 후진열 전에 상대적 지진 정지가 관측되는데, ETAS 모델은 이러한 현상을 어떻게 설명하는가?
• RQ5 후진열 시퀀스에서 $ b $-값과 $ p $-값 간의 경험적 상관관계는 무엇을 설명하며, ETAS 모델은 이를 어떻게 재현하는가?

주요 결과

• 부분 임계 상태($ n < 1 $)에서는 $ t < t^* $ 에서 효과적인 오모리 지수 $ 1 - \theta $ 로 감쇠하며, $ t > t^* $ 에서는 $ 1 + \theta $ 로 전이되며, 이는 이전 연구 결과와 일치한다.
• 초임계 상태($ n > 1 $, $ \theta > 0 $)에서는 조기 오모리 감쇠($ 1 - \theta $)를 보이다가 $ t > t^* $ 에서 폭발적 지수 증가를 보이며, 큰 사건 전 지진 활동 가속 현상을 설명한다.
• $ \theta < 0 $ 일 경우 분지 파arameter $ n $ 이 발산하며, 새로운 특징적인 시간 $ \tau $ 가 $ 1 - |\theta| $ 지수를 가진 오모리 법에서 장기적으로 지수 증가로의 전이를 규제한다.
• 작은 $ p $-값(즉, $ p \to 1 $) 이 큰 지진을 이르는 경우가 있는데, 이러한 값들은 $ \theta \to 0 $ 에 해당하며, 초임계 행동의 가능성 증가를 의미한다.
• 초임계 상태에서 조기 오모리 감쇠에서 장기적 지수 증가로의 전이가 원인이 되어 큰 후진열 전 상대적 지진 정지를 설명한다.
• 오가타(1989, 1992)의 실제 자료 분석 결과, $ t^* $ 는 ETAS 파arameter로부터 계산 가능하며, $ p \to 1 $ 또는 $ \theta \to 0 $ 인 시퀀스는 높은 $ n $ 과 연관되어 있어 폭발적 증가 가능성을 시사한다.