[논문 리뷰] Sub-diffusion processes in Hilbert space and their associated stochastic differential equations and Fokker-Planck-Kolmogorov equations

Lise Chlebak, Patricia Garmirian외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 02.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 17인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 힐버트 공간에 값이 있는 하위확산 과정으로서 시간에 따라 변화하는 Q-와이너 과정을 도입하고, 그 마틴게일 성질을 확립하며, 시간에 따라 변화하는 이토 미적분과 쌍대성에 의해 확률적 미분 방정식(SDE)과 분수형 포커-플랭크-코모고로프(FPK) 방정식을 유도한다. 주요 기여는 시간에 따라 변화하는 SDE의 해에 대해 분수형 FPK 방정식을 도출한 것으로, 시간에 따라 변화하는 과정이 $ D_t^\beta \rho_t = L_0^* \rho_t $ 를 만족함을 보여주며, 여기서 $ D_t^\beta $ 는 카푸토 분수도함수이고 $ L_0^* $ 는 기저 SDE의 생성자에 대한 수반 연산자이다.

ABSTRACT

This paper focuses on the time-changed Q-Wiener process, a Hilbert space-valued sub-diffusion. It is a martingale with respect to an appropriate filtration, hence a stochastic integral with respect to it is definable. For the resulting integral, two change of variables formulas are derived. Via a duality theorem for integrals, existence and uniqueness theorems for stochastic differential equations (SDEs) driven by the time-changed Q-Wiener process are discussed. Associated fractional Fokker-Planck-Kolmogorov equations are derived using either a time-changed Itô formula or duality. Connections are established between three integrals driven by time-changed versions of the Q-Wiener process, cylindrical Wiener process, and martingale measure.

연구 동기 및 목표

• 시간에 따라 변화하는 Q-와이너 과정을 사용하여 하위확산 과정을 무한차원 힐버트 공간으로 확장하는 것.
• 시간에 따라 변화하는 Q-와이너 과정에 의해 유도되는 확률적 미분 방정식(SDE)의 해의 존재성과 유일성을 확립하는 것.
• 시간에 따라 변화하는 이토 공식과 쌍대성을 사용하여 시간에 따라 변화하는 SDE에 대해 분수형 포커-플랭크-코모고로프(FPK) 방정식을 도출하는 것.
• 시간에 따라 변화하는 Q-와이너 과정, 시간에 따라 변화하는 원통형 와이너 과정, 그리고 마틴게일 측도에 의해 유도되는 세 가지 유형의 확률적 적분 간의 관계를 규명하는 것.

제안 방법

• 시간에 따라 변화하는 Q-와이너 과정은 역 안정 하위순서로 시간을 변화시킨 Q-와이너 과정으로 정의되며, 이는 힐버트 공간 내에서 제곱-integrable 마틴게일임을 보장한다.
• 시간에 따라 변화하는 Q-와이너 과정에 대한 확률적 적분에 대해 두 가지 변수변환 공식이 도출되었으며, 이토 과정에 대한 시간에 따라 변화하는 이토 공식 포함.
• 시간에 따라 변화하는 SDE의 약한 해와 강한 해의 존재성과 유일성은 시간에 따라 변화하는 SDE와 비시간에 따라 변화하는 SDE 간의 쌍대성에 의해 확립된다.
• 시간에 따라 변화하는 Q-와이너 과정, 원통형 와이너 과정, 마틴게일 측도에 의해 유도되는 적분 간의 관계는 쌍대성과 푸비니 정리에 의해 규명된다.
• 라플라스 변환과 쌍대성을 사용하여 분수형 FPK 방정식이 도출되었으며, 해의 법칙에 대한 분수도함수의 시간도함수는 생성자에 대한 수반 연산자가 법칙에 작용한 결과와 일치함을 보였다.
• 시간에 따라 변화하는 SDE의 해는 $ X(t) = Y(E_t) $ 로 표현되며, 여기서 $ Y $ 는 고전적 SDE를 만족하고 $ E_t $ 는 역 하위순서이므로, 라플라스 변환 기법을 통해 FPK 방정식을 유도할 수 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간에 따라 변화하는 Q-와이너 과정을 사용하여 하위확산 과정을 어떻게 무한차원 힐버트 공간으로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 시간에 따라 변화하는 Q-와이너 과정의 확률적 미적분 성질은 무엇인가? 특히 변수변환과 이토 공식은 어떻게 도출되는가?
• RQ3 시간에 따라 변화하는 Q-와이너 과정에 의해 유도되는 SDE의 해에 대해 존재성과 유일성 조건은 무엇인가?
• RQ4 시간에 따라 변화하는 SDE의 확률적 법칙은 어떻게 분수형 포커-플랭크-코모고로프 방정식을 만족하는가?
• RQ5 시간에 따라 변화하는 Q-와이너 과정, 원통형 와이너 과정, 마틴게일 측도에 의해 유도되는 확률적 적분 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 시간에 따라 변화하는 Q-와이너 과정은 힐버트 공간 내에서 제곱-integrable 마틴게일이며, 증가 및 이차변화 과정이 명시적으로 계산되었다.
• 시간에 따라 변화하는 Q-와이너 과정에 대한 확률적 적분에 대해 두 가지 변수변환 공식이 도출되었으며, 이는 시간에 따라 변화하는 이토 미적분의 개발을 가능하게 한다.
• 그렉슈 및 툴로의 힐버트 공간 내 마틴게일에 관한 결과를 활용하여 시간에 따라 변화하는 SDE의 약한 해의 존재성과 유일성이 확립되었다.
• 시간에 따라 변화하는 SDE의 강한 해의 존재성과 유일성은 해당 비시간에 따라 변화하는 SDE와의 쌍대성에 의해 증명되었다.
• 시간에 따라 변화하는 SDE의 해는 $ X(t) = Y(E_t) $ 를 만족하며, 여기서 $ Y $ 는 고전적 SDE를 만족하고 $ E_t $ 는 역 하위순서이므로, 분수형 FPK 방정식 유도가 가능하다.
• 해의 법칙은 분수형 Fokker-Planck-Kolmogorov 방정식 $ D_t^\beta \rho_t = L_0^* \rho_t $ 를 만족한다. 여기서 $ D_t^\beta $ 는 카푸토 분수도함수이고 $ L_0^* $ 는 기저 SDE의 생성자의 수반 연산자이다.