[논문 리뷰] Subgroup dynamics and $C^\ast$-simplicity of groups of homeomorphisms

Adrien Le Boudec, Nicolás Matte Bon|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 05.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 47인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 비가역적 강한 안정화자(non-amenable rigid stabilizers)가 존재할 경우, 가역성의 하위군 다이내믹스와 C*-단순성 사이의 연결고리를 확립한다. 비가역적 강한 안정화자를 기반으로 한 C*-단순성 기준을 제안하며, 톰슨의 군 V와 특정 조각별 프로젝티브 군들이 C*-단순하다는 것을 증명함으로써, 자유군을 포함하지 않는 유한형성된 C*-단순 군의 첫 번째 예를 제공한다.

ABSTRACT

We study the uniformly recurrent subgroups of groups acting by homeomorphisms on a topological space. We prove a general result relating uniformly recurrent subgroups to rigid stabilizers of the action, and deduce a $C^*$-simplicity criterion based on the non-amenability of rigid stabilizers. As an application, we show that Thompson's group $V$ is $C^\ast$-simple, as well as groups of piecewise projective homeomorphisms of the real line. This provides examples of finitely presented $C^\ast$-simple groups without free subgroups. We prove that a branch group is either amenable or $C^\ast$-simple. We also prove the converse of a result of Haagerup and Olesen: if Thompson's group $F$ is non-amenable, then Thompson's group $T$ must be $C^\ast$-simple. Our results further provide sufficient conditions on a group of homeomorphisms under which uniformly recurrent subgroups can be completely classified. This applies to Thompson's groups $F$, $T$ and $V$, for which we also deduce rigidity results for their minimal actions on compact spaces.

연구 동기 및 목표

• 가정된 작용에 대해 미세지지 작용(micro-supported actions)을 갖는 가역성 군의 균일 반복 하위군(URSs)을 특성화하기.
• 강한 안정화자의 비가역성에 기반한 C*-단순성 기준 수립하기.
• 극한 경계 작용과 최대 점 안정화자를 갖는 군에서의 URS 분류하기.
• 자유군을 포함하지 않는 유한형성된 C*-단순 군의 새로운 예를 제공하기.
• 지식기반 군은 가역적이거나 C*-단순하다는 것을 증명하고, 하아거프(Haagerup)와 올레센(Olesen)의 결과에 대한 역을 확립하기.

제안 방법

• 열린 집합의 강한 안정화자가 비자명한 작용인 미세지지 작용의 개념을 도입한다.
• G-불변 닫힌 부분군의 공간에 대한 차바우티 위상(Chabauty topology)을 사용하여 G-불변 닫힌 부분집합을 연구한다.
• 콤팩트 공간 위에서의 최소적이고 극단적으로 비근접적인 작용에 대해 안정화자 URS의 개념을 적용한다.
• 하위군의 슈레어 그래프를 카일리 그래프에 등각적 임bedding하여 비가역성을 유도한다.
• 열린 분할과 위상적 전체군 원소를 사용하여 궤도 위에서의 군 작용을 시뮬레이션한다.
• 비가역 슈레어 그래프는 비가역 하위군을 암시하며, 이를 강한 안정화자로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가정된 가역성 군 작용에서 모든 비자명한 균일 반복 하위군이 비가역적일 조건은 무엇인가?
• RQ2 강한 안정화자의 비가역성으로 군의 C*-단순성을 판단할 수 있는가?
• RQ3 어떤 조건이 군의 유일한 URS들이 자명군, 전체군, 안정화자 URS 뿐임을 보장하는가?
• RQ4 자유군을 포함하지 않는 유한형성 군에 대해 C*-단순성을 확립할 수 있는가?
• RQ5 하아거프와 올레센의 결과(비가역성 F → T의 C*-단순성)에 대한 역이 존재하는가?

주요 결과

• 미세지지 작용에서 모든 열린 집합의 강한 안정화자가 비가역적이라면, 모든 비자명한 균일 반복 하위군도 비가역적이다.
• 톰슨의 군 V는 강한 안정화자가 비가역적이고 작용이 미세지지이므로 C*-단순하다.
• 실수선 위의 조각별 프로젝티브 가역성 군들은 동일한 조건 하에서 C*-단순하다.
• 극한 경계 작용을 하며 최대 점 안정화자와 강한 안정화자가 유한 또는 아벨 몫을 갖지 않는 군의 경우, 유일한 균일 반복 하위군은 1, G, 안정화자 URS 뿐이다.
• 지식기반 군은 가역적이거나 C*-단순하다는 성질을 보이며, 이는 이 클래스에 대한 이분법을 제공한다.
• 톰슨의 군 F가 비가역적이라면, 톰슨의 군 T는 C*-단순하다. 이는 하아거프와 올레센의 결과에 대한 역을 증명한다.