[논문 리뷰] Submodular and supermodular multi-labeling, and vertex happiness.

Yao Xu, Randy Goebel외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 10.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 1인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 Lovász 확장 기반의 볼록/볼록 아래로의 근사와 랜덤화 라운딩을 사용하여 잘라내기 문제의 일반적 프레임워크로 하위모듈러 및 초모듈러 다중라벨링(Sub-ML 및 Sup-ML)을 소개한다. Sub-ML의 경우 $2 - \frac{2}{k}$, Sup-ML의 경우 $\frac{2}{k}$의 근사 보장을 달성하며, 이는 최대 행복 정점(MHV) 및 최소 불행 정점(MUHV) 문제에 적용되어, 표준 추측 하에 이러한 경계의 날카로움을 증명한다.

ABSTRACT

In this paper, we investigate the submodular multi-labeling (Sub-ML) problem, a more general version of the submodular multiway partition (Sub-MP), which captures many cut problems as special cases, including the edge-/node-weighted multiway cut and the hypergraph multiway cut. We also study the complement of Sub-ML, the supermodular multi-labeling (Sup-ML) problem. We propose a convex (concave, respectively) relaxation for the Sub-ML (Sup-ML, respectively) problem based on the Lov\'{a}sz extension, which can be solved in polynomial time. By applying a randomized rounding, we prove that Sub-ML can be approximated within a factor of $2 - \frac{2}{k}$ and Sup-ML can be approximated within a factor of $\frac{2}{k}$, where $k$ is the number of labels. In addition, we find that a recently studied vertex-coloring problem, the maximum happy vertices (MHV) problem, can be casted as a special case of Sup-ML. Hence, MHV can be approximated within $\frac{2}{k}$, which improves the previous best $\frac{1}{k}$-approximation. Based on the associated LP relaxation, we further prove that the $\frac{2}{k}$-approximation is the best possible for MHV. For the complementary minimum unhappy vertices (MUHV) problem, casted as a special case of Sub-ML, it can be approximated within $2 - \frac{2}{k}$ too; we prove that $2 - \frac{2}{k}$ is the best possible based on the associated LP relaxation; lastly, we show that a $(2 - \frac{2}{k} - \epsilon)$-approximation for MUHV is NP-hard under the Unique Games Conjecture, for any positive $\epsilon$.

연구 동기 및 목표

• 하위모듈러 다중분할 및 잘라내기 문제를 통합된 Sub-ML 프레임워크로 일반화하기.
• Sub-ML의 이중으로서의 Sup-ML 문제를 정의하고 연구하기.
• 하위모듈러 함수의 Lovász 확장 기반으로 Sub-ML에 대한 볼록 근사와 Sup-ML에 대한 볼록 아래로의 근사 개발하기.
• 랜덤화 라운딩을 적용하여 Sub-ML 및 Sup-ML 모두에 대한 근사 알고리즘 유도하기.
• MHV 문제와 MUHV 문제가 각각 Sup-ML 및 Sub-ML의 특수 케이스임을 보여주고, 유도된 경계를 직접 적용하기.

제안 방법

• 하위모듈러 및 초모듈러 목적 함수를 가진 라벨 할당에 대한 최적화 문제로 Sub-ML 및 Sup-ML를 수립하기.
• 하위모듈러 함수의 Lovász 확장 기반으로 Sub-ML에 대한 볼록 근사와 Sup-ML에 대한 볼록 아래로의 근사 구성하기.
• 유지된 해에 대해 랜덤화 라운딩을 적용하여 유한한 근사 비율을 가진 정수 라벨링 확보하기.
• Sub-ML의 근사 비율이 $2 - \frac{2}{k}$이고, Sup-ML의 비율이 $\frac{2}{k}$임을 증명하기. 여기서 $k$는 라벨 수이다.
• MHV가 Sup-ML의 특수 케이스이고, MUHV가 Sub-ML의 특수 케이스임을 입증하여, 유도된 경계의 직접 적용 가능성을 보여주기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 하위모듈러 및 초모듈러 다중라벨링 문제는 기존 잘라내기 문제의 일반화로 공식화될 수 있는가?
• RQ2 볼록 및 볼록 아래로의 근사를 사용할 경우, Sub-ML 및 Sup-ML에 대해 어떤 근사 보장을 달성할 수 있는가?
• RQ3 Sup-ML 프레임워크를 사용하여 이전의 $\frac{1}{k}$-근사치를 초월해 최대 행복 정점(MHV) 문제의 근사치를 향상시킬 수 있는가?
• RQ4 MHV에 대한 $\frac{2}{k}$-근사치는 표준 복잡도 가정 하에 최적인가?
• RQ5 MUHV에 대한 $2 - \frac{2}{k}$-근사치는 날카로운가? 그리고 유니크 게임 추측 하에 $\epsilon > 0$ 인 임의의 $\epsilon$에 대해 $(2 - \frac{2}{k} - \epsilon)$-근사치는 NP-난해인가?

주요 결과

• Sub-ML 문제는 볼록 근사와 랜덤화 라운딩을 통해 $2 - \frac{2}{k}$의 근사 비율로 근사 가능하다.
• Sup-ML 문제 역시 볼록 아래로의 근사와 랜덤화 라운딩을 통해 $\frac{2}{k}$의 근사 비율로 근사 가능하다.
• 최대 행복 정점(MHV) 문제는 $\frac{2}{k}$-근사치를 달성하여 이전의 $\frac{1}{k}$-근사치를 향상시켰다.
• MHV에 대한 $\frac{2}{k}$-근사치는 관련 선형계획법 근사의 증명을 통해 최적임을 입증되었다.
• 최소 불행 정점(MUHV) 문제에 대한 $2 - \frac{2}{k}$-근사치는 날카로우며, 임의의 $\epsilon > 0$에 대해 $(2 - \frac{2}{k} - \epsilon)$-근사치는 유니크 게임 추측 하에 NP-난해하다.