[논문 리뷰] Subvarieties of quotients of bounded symmetric domains

Benoît Cadorel|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 28.

Holomorphic and Operator Theory참고 문헌 3인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유계 대칭 도메인의 몫에서 부분다양체의 복소 하이퍼볼리시티 및 일반형 성질에 대한 새로운 메트릭 기반 기준을 수립한다. 특히 구 몫과 시겔 모듈리 공간에 적용된다. 부분다양체의 정규화 선다발에 대해 양의 곡률 메트릭을 구성함으로써, 선다발 $ L_0 $ 에 대한 특정한 양성 조건을 만족할 경우 차원이 $ p $ 이상인 부분다양체가 일반형임을 증명하며, 이는 곡선의 모듈리 공간이 일반형이 되는 데 필요한 레벨 구조에 대한 효과적인 경계를 이끌어낸다.

ABSTRACT

We present a new criterion for the complex hyperbolicity of a non-compact quotient X of a bounded symmetric domain. For each p $\\ge$ 1, this criterion gives a precise condition under which the subvarieties V $\\subset$ X with dim V $\\ge$ p are of general type, and X is p-measure hyperbolic. Then, we give several applications related to ball quotients, or to the Siegel moduli space of principally polarized abelian varieties. For example, we determine effective levels l for which the moduli spaces of genus g curves with l-level structures are of general type.

연구 동기 및 목표

• 유계 대칭 도메인의 비콤팩트 몫에서 $ p $-측도 하이퍼볼리시티 및 일반형 성질에 대한 통합된 메트릭 기반 기준을 개발한다.
• 변화하는 호지 구조에 의존하지 않고, 산술 몫에서의 코바야시 하이퍼볼리시티 및 대수적 하이퍼볼리시티에 대한 이전 결과를 일반화한다.
• 종수 $ g $ 곡선의 모듈리 공간이 일반형이 되는 데 필요한 레벨 구조에 대한 효과적인 경계를 제공한다.
• 정규화 선다발의 양성 조건을 통해 이러한 몫에서 부분다양체가 일반형인지 판단하는 구축 가능한 방법을 확립한다.

제안 방법

• 베르그만 메트릭의 변형을 사용하여 부분다양체 $ V \subset \overline{X} $ 의 정규화 선다발 $ K_V $ 에 대해 양의 곡률 메트릭을 구성한다.
• 부크소름의 정리를 적용하여 $ K_V $ 가 크다는 것을 도출함으로써 $ V $ 가 일반형임을 증명한다.
• 양성 조건이 하이퍼볼리시티 및 일반형 조건을 결정하는 선다발 $ L_0 $ 을 정의한다.
• 조합 최적화 절차를 사용하여 $ L_0 $ 의 양성 조건을 결정하는 임계 상수 $ C_p $ 를 계산한다.
• 격자 구성과 가중치 분포를 기반으로 하여 허미트 대칭 도메인 $ \mathbb{H}_g $ 에 대해 재귀 알고리즘을 Python 으로 구현하여 $ C_p $ 를 계산한다.
• 선다발 $ L_0 $ 의 양성 조건이 기저 집합이 경계 분리자 $ D $ 에 포함되어 있음을 보여주며, $ D $ 에 포함되지 않은 부분다양체는 일반형임을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선다발 $ L_0 $ 의 양성 조건이 어떤 조건일 경우, 차원이 $ p $ 이상인 부분다양체 $ V \subset X $ 가 일반형임이 보장되는가?
• RQ2 유계 대칭 도메인 몫에서 코바야시 하이퍼볼리시티 및 $ p $-측도 하이퍼볼리시티를 메트릭 방법을 통해 통일적으로 다룰 수 있는가?
• RQ3 어떤 효과적인 레벨 $ l $ 이 존재하여 종수 $ g $ 곡선의 모듈리 공간에 $ l $-레벨 구조를 부여할 경우 일반형이 되는가?
• RQ4 변화하는 호지 이론을 사용하지 않고 부분다양체의 정규화 선다발의 크기 조건을 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ5 시겔 모듈리 공간 $ A_g $ 에서 일반형 행동의 임계 조건을 결정하는 상수 $ C_p $ 의 정확한 값은 무엇인가?

주요 결과

• 종수 $ g \geq 12 $ 일 경우, 레벨 $ l $-구조를 가진 종수 $ g $ 곡선의 모듈리 공간은 $ l \geq 2g+1 $ 일 때 일반형이 되며, 이는 이전 결과를 향상시킨다.
• 모듈리 공간 $ \overline{A_g}^{BB} $ 는 해소 $ \widetilde{A_g} $ 를 가지며, $ \mathrm{codim} V \leq g-12 $ 이고 경계 또는 예외적 분리자에 포함되지 않은 모든 부분다양체 $ V $ 는 일반형이다.
• 도메인 $ \mathbb{H}_g $ 에서의 임계 상수 $ C_p $ 는 재귀적 파이썬 알고리즘을 통해 계산되었으며, $ C_p = \frac{g+1}{12} $ 이다. 이는 $ p = \frac{g(g+1)}{2} - (g-12) $ 일 때 성립하며, $ L_0 $ 의 양성 조건을 보장한다.
• $ \Gamma \subset \mathrm{Aut}(\Omega) $ 가 깔끔한 산술 격자일 경우, $ L_0 $ 가 양성일 때 정규화 선다발 $ K_{\overline{X}} $ 는 크며, 이는 $ \overline{X} $ 가 일반형임을 의미한다.
• 이 방법은 변화하는 호지 이론의 사용을 피하며, 브륀베르베의 대수적 하이퍼볼리시티 결과에 대한 메트릭 기반 대체 방법을 제공한다.
• 논문은 $ \overline{X} $ 의 부분다양체 $ V $ 가 차원 $ \geq p $ 이고 $ L_0 $ 의 기저 집합이 경계 $ D $ 에 포함될 경우, 일반형임을 증명한다. 이 조건은 $ \alpha > \frac{1}{C_p} $ 일 때 성립한다.