[논문 리뷰] Sums of the triple divisor function over values of a ternary quadratic form

Qingfeng Sun, Deyu Zhang|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 21.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 2인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 삼차 이차형식 n₁² + n₂² + n₃²의 값 위에서 삼중 약수 함수 τ₃(n)의 합에 대한 최초의 점근적 공식을 도출한다. 바이어슈트라스 합과 특성 합 추정을 통해 이루어지며, 1 ≤ n₁,n₂,n₃ ≤ √x 범위에서의 합은 (log x)², log x, 그리고 상수 항을 포함한 주항등항을 가지며, 오차항으로서 Oε(x¹¹/⁸⁺ε)를 갖는다. 이는 이전의 τ₃에 대한 이차형식에 대한 오차 bound보다 크게 향상된 결과이다.

ABSTRACT

Let $τ_3(n)$ be the triple divisor function which is the number of solutions of the equation $d_1d_2d_3=n$ in natural numbers. It is shown that $$ \sum_{1\leq n_1,n_2,n_3\leq \sqrt{x}}τ_3(n_1^2+n_2^2+n_3^2)=c_1x^{\frac{3}{2}}(\log x)^2+ c_2x^{\frac{3}{2}}\log x +c_3x^{\frac{3}{2}} +O_{\varepsilon}(x^{\frac{11}{8}+\varepsilon}) $$ for some constants $c_1$, $c_2$ and $c_3$.

연구 동기 및 목표

• 삼차 이차형식 n₁² + n₂² + n₃²의 값 위에서 삼중 약수 함수 τ₃(n)의 합에 대한 점근적 공식을 수립하기.
• 이전의 이진 및 삼차형식에 대한 τ(n) 결과를 k = 3의 경우로 확장하여, τ₃(n)이 d₁d₂d₃ = n 를 만족하는 순서쌍 (d₁,d₂,d₃)의 수를 세는 함수임을 고려하기.
• 이전의 τ₃(n)에 대한 세제곱의 합에서의 오차항을 개선하여, 곽과ZHAI의 O(x⁴/³) bound를 뛰어넘기.
• 바이어슈트라스 합과 특성 합 분석을 통해 특수 L함수와 산술 상수를 포함한 명시적 주항등항을 도출하기.
• 리만 제타 함수, 가우스 합, 슈틸제 정수를 포함한 정확한 계수를 갖는 완전한 점근 전개를 제공하기.

제안 방법

• 합 ∑_{n₁,n₂,n₃ ≤ √x} τ₃(n₁² + n₂² + n₃²) 에 바이어슈트라스 합을 적용하여, 지수 합과 베셀 함수를 포함한 합으로 변환하기.
• τ₃(n)에 대한 바이어슈트라스 공식을 사용하여, 클루스트만 합과 베셀 함수를 포함한 가중치 합으로 표현함으로써, 해석적 계속성과 정적 위상 분석이 가능하도록 하기.
• 결과로 얻어진 합을 이중 간격으로 분해하고, 원주법을 적용하여 지수 합 추정을 통해 주곡선과 부곡선으로 분리하기.
• 유한체 위에서의 비퇴화된 지수 합 성질을 이용하여, 형태 𝒞(b₁,b₂,b₃,n,m,v;q)의 왜곡된 특성 합을 추정하기.
• 푸(2003)의 비퇴화 조건을 적용하여 F_p² 위에서의 지수 합을 유계화하고, 특성 합에 대해 O(p⁵/²) bound 확보하기.
• 특성 합의 유계화 결과를 베셀 함수의 구조와 이차형식의 기하학적 성질과 결합하여 주항등항 계수를 도출하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 x → ∞ 일 때, ∑_{1≤n₁,n₂,n₃≤√x} τ₃(n₁² + n₂² + n₃²) 의 점근적 행동은 어떻게 되는가?
• RQ2 세제곱의 합에 대한 τ₃(n)에 대한 점근적 공식의 오차항은 O(x⁴/³)를 넘어서 개선될 수 있는가?
• RQ3 점근 전개의 정확한 주항등항은 무엇이며, ζ(3), γ, γ₁ 등의 산술 상수에 어떻게 의존하는가?
• RQ4 계수 𝒞₀, 𝒞₁, 𝒞₂ 와 𝒥₀, 𝒥₁, 𝒥₂ 는 문제의 스펙트럼적 및 산술적 구조에서 어떻게 유도되는가?
• RQ5 바이어슈트라스 합과 특성 합 추정 방법은 삼차형식에 대해 k ≥ 4 인 τₖ(n)로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 합 ∑_{1≤n₁,n₂,n₃≤√x} τ₃(n₁² + n₂² + n₃²) 는 주항등항이 x³/²(log x)², x³/² log x, x³/² 순서를 갖는 점근 전개를 가진다.
• 주항등항의 계수는 (𝒞₀𝒥₀)/4 이며, 여기서 𝒞₀ 는 q에 대한 무한합 ∑ 1/q⁵ 과 가우스 합 및 클루스트만 합을 포함하고 있고, 𝒥₀ 는 log u 와 e(βv²) 를 포함한 실수 적분이다.
• 오차항은 Oε(x¹¹/⁸⁺ε) 이며, 곽과 ZHAI의 O(x⁴/³) bound 를 뛰어넘고, 이와 같은 합에 대한 추측된 최적의 O(x¹⁺ε) 에 가까워진다.
• 두 번째 주항등항 계수는 (1/2)(𝒞₁𝒥₀ + 𝒞₀𝒥₁) 이며, 𝒞₁ 과 𝒥₁ 은 주항등항의 보정을 위한 로그 및 산술 보정을 포함한다.
• 세 번째 주항등항 계수는 𝒞₂, 𝒥₂ 와 더 낮은 순서의 산술 보정을 포함하며, log n, log q, γ, γ₁ 에 대한 명시적 표현을 갖는다.
• 반지름이 √x 인 전체 구 위에서의 합 ∑_{n₁²+n₂²+n₃² ≤ x} τ₃(n₁²+n₂²+n₃²) 에 대해서도 유사한 점근적 공식을 도출하였으며, 계수는 각각 2와 4로 스케일링되고, 동일한 오차항을 갖는다.