[논문 리뷰] Supercongruences involving dual sequences

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 02.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 34인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 이항계수를 포함하는 쌍대 수열인 $ d_n(x) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\binom{x}{k}2^k $ 및 $ s_n(x) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\binom{x}{k}\binom{x+k}{k} $에 대한 새로운 $ p $-진 초합동식을 수립한다. 특히 $ \sum_{k=0}^{p-1} (-1)^k d_k(x)^2 \equiv (-1)^{\langle x\rangle_p} \pmod{p^2} $ 및 $ \sum_{k=0}^{p-1} (2k+1)s_k(x)^2 \equiv 0 \pmod{p^2} $를 증명하며, 중심 삼항계수 및 델라누아 수에 대한 기존 결과를 깊이 있는 $ p $-진 구조로 확장한다.

ABSTRACT

In this paper we study some sophisticated supercongruences involving dual sequences. For $n=0,1,2,\ldots$ define $$d_n(x)=\sum_{k=0}^n\binom nk\binom xk2^k$$ and $$s_n(x)=\sum_{k=0}^n\binom nk\binom xk\binom{x+k}k=\sum_{k=0}^n\binom nk(-1)^k\binom xk\binom{-1-x}k.$$ For any odd prime $p$ and $p$-adic integer $x$, we determine $\sum_{k=0}^{p-1}(\pm1)^kd_k(x)^2$ and $\sum_{k=0}^{p-1}(2k+1)d_k(x)^2$ modulo $p^2$; for example, we establish the new $p$-adic congruence $$\sum_{k=0}^{p-1}(-1)^kd_k(x)^2\equiv(-1)^{\langle x angle_p}\pmod{p^2},$$ where $\langle x angle_p$ denotes the least nonnegative integer $r$ with $x\equiv r\pmod p$. For any prime $p>3$ and $p$-adic integer $x$, we determine $\sum_{k=0}^{p-1}s_k(x)^2$ modulo $p^2$ (or $p^3$ if $x\in\{0,\ldots,p-1\}$), and show that $$\sum_{k=0}^{p-1}(2k+1)s_k(x)^2\equiv0\pmod{p^2}.$$ We also pose several related conjectures.

연구 동기 및 목표

• 이항계수와 조합 다항식을 통해 정의된 쌍대 수열을 포함하는 초합동식을 조사한다.
• 중앙 삼항계수 및 델라누아 수에 대한 알려진 $ p $-진 합동식을 더 높은 모듈러스로 확장한다.
• $ d_n(x) $ 및 $ s_n(x) $의 제곱합에 대해 정확한 합동식을 $ p^2 $ (특수한 경우 $ p^3 $) 모듈로로 수립한다.
• Rodriguez-Villegas 형 추측을 일반화하고 $ p $-진 해석 및 조합 항등식을 통해 이를 증명한다.
• 카탈란 수와 일반화된 이항계수를 포함하는 고차 초합동식에 대한 새로운 추측을 제기하고 이를 지원한다.

제안 방법

• 변환 $ a_n^* = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}(-1)^k a_k $을 통해 쌍대 수열을 정의하고, 그 생성함수와 대칭적 성질을 연구한다.
• 다항식 $ D_n(x,y) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\binom{x}{k}y^k $ 및 $ S_n(x,y) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\binom{x}{k}\binom{-1-x}{k}y^k $를 도입하며, $ d_n(x) = D_n(x,2) $, $ s_n(x) = S_n(x,-1) $로 정의한다.
• Chu-Vandermonde 항등식과 $ p $-진 정수의 성질을 활용하여 모듈로 $ p^2 $ 및 $ p^3 $의 합을 분석한다.
• 레지오드 기호, 오일러 수, 초함수 항등식에 대한 기존 결과를 적용하여 $ \sum_{k=0}^{p-1} d_k(x)^2 $ 및 $ \sum_{k=0}^{p-1} s_k(x)^2 $에 대한 합동식을 유도한다.
• 쌍대성과 대칭성: $ d_n(x) = (-1)^n d_n(-1-x) $, $ s_n(x) = s_n(-1-x) $를 활용하여 경우를 단순화하고 합동식을 통합한다.
• 기호 계산과 기존 초합동식을 활용하여 추측을 제안하고 검증하며, 카탈란 수와 일반화된 중심 이항계수를 포함한 것들을 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모듈로 $ p^2 $ 에서 $ \sum_{k=0}^{p-1} (-1)^k d_k(x)^2 $에 대한 정확한 $ p $-진 초합동식은 무엇인가요?
• RQ2 $ p > 3 $일 때 $ \sum_{k=0}^{p-1} (2k+1)s_k(x)^2 $는 모듈로 $ p^2 $ 에서 어떻게 행동합니까?
• RQ3 $ \sum_{k=0}^{p-1} \tilde{J}_2(k)^2 \mod p^3 $에 대한 Rodriguez-Villegas 형 추측을 다른 수열로 일반화할 수 있을까요?
• RQ4 $ t_k(x) = S_k(x,-2) $일 때, $ \sum_{k=0}^{p-1} t_k(x)^2 \mod p^2 $의 구조는 무엇입니까?
• RQ5 $ \sum_{k=0}^{p-1} (8k+5)t_k(-1/2)^2 $ 및 유사한 가중합은 모듈로 $ p^2 $ 에서 유리함수의 형태로 합동합니까?

주요 결과

• 모든 홀수 소수 $ p $ 와 $ p $-진 정수 $ x $ 에 대해 $ \sum_{k=0}^{p-1} (-1)^k d_k(x)^2 \equiv (-1)^{\langle x\rangle_p} \pmod{p^2} $ 이며, 여기서 $ \langle x\rangle_p $ 는 $ x \mod p $ 의 최소 음이 아닌 잔여류이다.
• $ p > 3 $ 일 때 $ \sum_{k=0}^{p-1} s_k(x)^2 \equiv 0 \pmod{p^2} $ 이며, $ x \in \{0, \dots, p-1\} $ 이면 이 합은 모듈로 $ p^3 $ 에 대해 0과 합동이다.
• $ p > 3 $ 이고 $ p $-진 정수 $ x $ 에 대해 $ \sum_{k=0}^{p-1} (2k+1)s_k(x)^2 \equiv 0 \pmod{p^2} $ 이다.
• 논문은 $ \sum_{k=0}^{p-1} \tilde{J}_2(k)^2 \equiv \left(\frac{-1}{p}\right) \pmod{p^3} $ 를 증명하며, Kimoto와 Wakayama의 추측을 확인한다.
• 추측 6.13은 카탈란 수와 일반화된 이항계수를 포함하는 수열의 제곱합에 대해 모듈로 $ p^3 $ 및 $ p^4 $ 의 정확한 $ p $-진 합동식을 제시한다.
• 추측 6.14는 $ 2x \equiv -1 \pmod{p} $ 인지 여부에 따라 두 경우로 나뉘는 $ \sum_{k=0}^{p-1} t_k(x)^2 \mod p^2 $ 의 합동식을 제안하며, 정수값 성질 및 가중합에 대한 합동식 결과를 포함한다.