[논문 리뷰] Supervised quantum machine learning models are kernel methods

Maria Schuld|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 26.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 28인용 수 171

한 줄 요약

본 논문은 감독 양자 모델이 고전적 커널 방법으로 형식화될 수 있으며, 양자 커널이 데이터 인코딩 밀도 행렬의 내적에 의해 정의되고, 커널 기반 학습이 특정 조건하에서 변분적 접근법보다 더 나은 성능을 냄을 주장한다.

ABSTRACT

With near-term quantum devices available and the race for fault-tolerant quantum computers in full swing, researchers became interested in the question of what happens if we replace a supervised machine learning model with a quantum circuit. While such "quantum models" are sometimes called "quantum neural networks", it has been repeatedly noted that their mathematical structure is actually much more closely related to kernel methods: they analyse data in high-dimensional Hilbert spaces to which we only have access through inner products revealed by measurements. This technical manuscript summarises and extends the idea of systematically rephrasing supervised quantum models as a kernel method. With this, a lot of near-term and fault-tolerant quantum models can be replaced by a general support vector machine whose kernel computes distances between data-encoding quantum states. Kernel-based training is then guaranteed to find better or equally good quantum models than variational circuit training. Overall, the kernel perspective of quantum machine learning tells us that the way that data is encoded into quantum states is the main ingredient that can potentially set quantum models apart from classical machine learning models.

연구 동기 및 목표

• 양자 기계 학습과 커널 이론 사이의 다리를 명확히 밝힌다.
• 밀도 행렬로 정의된 고차원 특성 공간에서 양자 모델이 선형임을 보인다.
• 학습이 재생 힐베르트 공간(RKHS)에서의 커널 기반 최적화로 축소된다는 것을 보여준다.
• 모델의 표현력과 학습 동작을 결정하는 데 있어 데이터 인코딩의 중요성을 강조한다.

제안 방법

• 데이터 인코딩 특성 맵을, 힐베르트-슈트(Hilbert–Schmidt) 내적을 갖는 밀도 행렬 공간에서 x → ρ(x)로의 매핑으로 정의하는 데이터 인코딩 특징 맵을 정의한다.
• 양자 커널 κ(x, x') = tr[ρ(x) ρ(x')] = |⟨φ(x')|φ(x)⟩|^2 로 정의하고 이는 양의 정(positive definite)임을 보인다.
• 양자 모델과 양자 커널에 의해 유도된 RKHS의 선형 모델 사이의 등가를 보인다.
• 표현정리(representer theorem)를 적용하여 최적 모델을 f_opt(x) = ∑ α_m tr[ρ(x^m) ρ(x)]로 표현한다.
• 커널 기반 학습은 훈련 데이터로 생성된 부분 공간에 속하는 측정값을 갖는 모델을 낳으며, 볼록성의 이점을 논의한다.
• 커널 기반 학습과 변분적 회로 학습을 비교하고 언제 하나가 더 바람직할 수 있는지 설명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자 모델을 양자 커널을 통해 고전적 커널 방법으로 재구성할 수 있는가?
• RQ2 양자 상태로의 데이터 인코딩(특징 맵)이 커널과 모델의 표현력을 어떻게 결정하는가?
• RQ3 양자 모델의 커널 기반 학습과 변분 회로 학습의 이점과 트레이드오프는 무엇인가?
• RQ4 표현 정리가 최적 양자 측정의 형태를 어떻게 제약하는가?
• RQ5 양자 커널이 고전 커널에 비해 계산적 또는 표현력상의 이점을 제공하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 양자 모델은 밀도 행렬의 특징 공간에서 선형 모델로 표현될 수 있으며, 예측력은 양자 커널 κ(x, x')에 의해 좌우된다.
• 양자 커널과 관련된 RKHS는 양자 모델 공간과 정확히 동일한 함수를 포함하여 커널 기반 분석을 가능하게 한다.
• 일반적인 비용 함수에 대한 최적 양자 측정은 훈련 데이터에서의 커널 급수로 표현될 수 있으며, 단지 M 자유도(계수 α_m)만 필요하다.
• 커널 기반 학습은 최적 모델 탐색을 M-차원 최적화 문제로 축소하며, 일반적인 손실 함수에 대해 볼록하고, 비볼록한 변분 학습과 대조된다.
• 양자 커널로의 학습은 변분 학습보다 적어도 동등하거나 더 나은 최소치를 보장할 수 있으며, 이는 쌍대 커널 평가가 필요하다는 대가를 수반한다.
• 데이터 인코딩 전략은 표현력과 잠재적 양자 이점을 크게 결정하며, 회로 설계 자체보다 인코딩의 중심적 역할을 강조한다.