[논문 리뷰] Supports, regularity, and $\boxplus$-infinite divisibility for measures of the form $(μ^{\boxplus p})^{\uplus q}$

Hao-Wei Huang|arXiv (Cornell University)|2012. 09. 25.

Random Matrices and Applications참고 문헌 17인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 자유 및 불리안 콘볼루션을 각각 나타내는 $\boxplus$ 및 $\uplus$를 사용하여 $(\mu^{\boxplus p})^{\uplus q}$ 형식의 측도의 지지 구조와 정규성에 대해 연구한다. 자유 콘볼루션 거듭제곱에 대한 보조 함수를 사용하여, 이러한 측도의 절대 연속 부분의 연결된 성분 수가 $p$에 대해 감소하는 함수임을 증명하고, 밀도와 원소에 대한 명시적 공식과 기준을 제공한다. 특히 $((\mu^{\boxplus p})^{\uplus q})^{\mathrm{ac}}$와 $(\mu^{\boxplus p})^{\mathrm{ac}}$가 동일한 수의 성분을 가진다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

Let $\mathcal{M}$ be the set of Borel probability measures on $\mathbb{R}$. We denote by $μ^{\mathrm{ac}}$ the absolutely continuous part of $μ\in\mathcal{M}$. The purpose of this paper is to investigate the supports and regularity for measures of the form $(μ^{\boxplus p})^{\uplus q}$, $μ\in\mathcal{M}$, where $\boxplus$ and $\uplus$ are the operations of free additive and Boolean convolution on $\mathcal{M}$, respectively, and $p\geq1$, $q>0$. We show that for any $q$ the supports of $((μ^{\boxplus p})^{\uplus q})^{\mathrm{ac}}$ and $(μ^{\boxplus p})^{\mathrm{ac}}$ contain the same number of components and this number is a decreasing function of $p$. Explicit formulas for the densities of $((μ^{\boxplus p})^{\uplus q})^{\mathrm{ac}}$ and criteria for determining the atoms of $(μ^{\boxplus p})^{\uplus q}$ are given. Based on the subordination functions of free convolution powers, we give another point of view to analyze the set of $\boxplus$-infinitely divisible measures and provide explicit expressions for their Voiculescu transforms in terms of free and Boolean convolutions.

연구 동기 및 목표

• 측도 $(\mu^{\boxplus p})^{\uplus q}$ 의 지지 및 정규성 성질을 분석하기 위해 $\mu \in \mathcal{M}$, $p > 1$, $q > 0$ 를 고려한다.
• 이러한 측도의 절대 연속 부분의 지지에서 연결된 성분 수와 그 $p$에 대한 의존성 결정하기.
• $(\mu^{\boxplus p})^{\uplus q}$ 의 절대 연속 성분의 밀도에 대한 명시적 공식과 원소 존재 여부 및 위치에 대한 기준 유도하기.
• $\boxplus$-무한 나누어 떨어지는 측도를 보조 함수를 사용하여 특성화하고, Voiculescu 변환을 자유 및 불리안 콘볼루션의 형태로 표현하기.

제안 방법

• 自由 콘볼루션 거듭제곱에 관련된 보조 함수를 사용하여 $p > 1$ 인 $\mu^{\boxplus p}$ 의 구조 분석하기.
• 불리안 Bercovici-Pata 비유 $\mathbb{B}_t$ 와 그 일반화인 $\mathbb{B}_{p,q}(\mu) = (\mu^{\boxplus p})^{\uplus q}$ 를 사용하여 자유 및 불리안 콘볼루션 간의 관계 설정하기.
• Voiculescu 변환과 자유 콘볼루션에서의 가역성에 기반하여 $\mathbb{C}^+$ 의 절삭된 원뿔 내에서 $\phi_{\mu^{\boxplus p}} = p\phi_\mu$ 의 함수 방정식 유도하기.
• $f_p(x)$ 와 그 보조 함수 $\psi_p$ 간의 관계를 사용하여, $\psi_p(V_p^+)$ 에서 $\frac{f_p(x)}{\pi(x^2 + f_p^2(x))}$ 의 형태로 절대 연속 부분의 밀도 기술하기.
• Julia-Carathéodory 이론을 적용하여 Cauchy 변환 $F_\mu'$ 의 도함수를 특정 점에서 분석함으로써 원소를 특성화하기.
• $f_p(x)$ 와 $\psi_p$ 의 이미지 행동 분석을 통해 $(\mathbb{B}_{p,q}(\mu))^{\mathrm{ac}}$ 의 지지에서 성분 수가 $p$에 대해 감소하는 함수임을 증명하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 측도 $(\mu^{\boxplus p})^{\uplus q}$ 의 절대 연속 부분의 지지에서 연결된 성분 수는 $p$에 어떻게 의존하는가?
• RQ2 $(\mu^{\boxplus p})^{\uplus q}$ 의 절대 연속 성분의 밀도를 기술하는 명시적 공식은 무엇인가?
• RQ3 $(\mu^{\boxplus p})^{\uplus q}$ 의 원소의 존재 및 위치를 결정하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 $\boxplus$-무한 나누어 떨어지는 측도의 Voiculescu 변환은 자유 및 불리안 콘볼루션을 사용하여 어떻게 표현할 수 있는가?
• RQ5 $((\mu^{\boxplus p})^{\uplus q})^{\mathrm{ac}}$ 가 $(\mu^{\boxplus p})^{\mathrm{ac}}$ 와 동일한 수의 성분을 지지하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• $p > 1$ 인 경우, $(\mu^{\boxplus p})^{\mathrm{ac}}$ 의 지지에서 연결된 성분 수는 $p$에 대해 감소하는 함수이다.
• 모든 $q > 0$ 에 대해 $(\mu^{\boxplus p})^{\mathrm{ac}}$ 와 $((\mu^{\boxplus p})^{\uplus q})^{\mathrm{ac}}$ 의 절대 연속 부분은 동일한 수의 성분을 포함한다.
• $\psi_p(V_p^+)$ 에서 $((\mu^{\boxplus p})^{\uplus q})^{\mathrm{ac}}$ 의 밀도는 $f_p$ 가 보조 함수로부터 유도된 경우 $\frac{f_p(x)}{\pi(x^2 + f_p^2(x))}$ 로 주어진다.
• $(\mu^{\boxplus p})^{\uplus q}$ 의 원소는 정확히 $F_{\mu^{\boxplus p}}(\alpha) = \alpha/(1-p)$ 이고 $F_{\mu^{\boxplus p}}'(\alpha) \in (1, \infty)$ 를 만족하는 점 $\alpha$ 에서 발생한다.
• $q = 1/p^*$ 인 경우, 측도 $(\mathbb{B}_{p,1/p^*}(\mu))^{\mathrm{ac}}$ 는 $\psi_p(V_p^+)$ 에서 해석적이고 $\psi_p(V_p^+)$ 의 폐포에 지지된다.
• $\mathrm{Ind}(\mu_t) = t$ 를 만족하는 측도 $\mu_t$ 가 모든 $t > 0$ 에 대해 존재하며, 이 측도의 지지에는 무한한 수의 성분이 포함될 수 있다.