[논문 리뷰] Surface defects and instanton partition functions

Davide Gaiotto, Hee‐Cheol Kim|arXiv (Cornell University)|2014. 12. 08.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 56인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 5차원 초등각 장 이론과 8개의 초대칭을 가진 4차원 ${\cal N}=2$ 양자역학적 게이지 이론에서, 고차원 두 번째의 반-보존 표면 결함이 존재하는 경우의 인스탄톤 분할 함수를 계산하기 위한 일반적인 방법을 개발한다. 레이어링된 이론에서의 양자역학적 유도를 통해 얻어지는 바이러스 구조를 이용하여, 등방성 국소화와 게이지된 선형 시그마 모델(GLSM) 기법을 융합한 계산 프레임워크를 유도함으로써, 결함이 포함된 분할 함수에 대한 정확한 결과를 도출하고, 잔여 계산을 통해 이중성의 타당성을 검증한다.

ABSTRACT

We study the superconformal index of five-dimensional SCFTs and the sphere partition function of four-dimensional gauge theories with eight supercharges in the presence of co-dimension two half-BPS defects. We derive a prescription which is valid for defects which can be given a "vortex construction", i.e. can be defined by RG flow from vortex configurations in a larger theory. We test the prescription against known results and expected dualities. We employ our prescription to develop a general computational strategy for defects defined by coupling the bulk degrees of freedom to a Gauged Linear Sigma Model living in co-dimension two.

연구 동기 및 목표

• 5차원 및 4차원 ${\cal N}=2$ 이론에서 고차원 두 번째의 반-보존 표면 결함가 존재하는 경우의 인스탄톤 분할 함수에 대한 일반적인 계산 프레임워크를 개발하기 위해.
• 이전에 4차원 ${\cal N}=2$ 이론의 결함에 사용된 바이러스 구조의 적용 범위를 8개의 초대칭을 가진 5차원 초등각 장 이론으로 확장하기 위해.
• 고차원 두 번째에서 게이지된 선형 시그마 모델(GLSM)을 통해 배경 게이지 이론과 결합함으로써 결함 기여를 통합하고, 풍부화된 분할 함수의 체계적인 계산을 가능하게 하기 위해.
• 기존 결과와 예상되는 이중성, 특히 AGT 유사 관계와 세이버그-위튼 곡선의 구조를 포함하여, 제시된 방법의 일관성을 검증하기 위해.

제안 방법

• 저자들은 UV 이론 $T'$에서의 양자역학적 유도를 통해 바이러스 구조를 활용하며, 이론 $T'$ 내에서 위치에 따라 변화하는 스칼라 진동수의 기대값(바이러스 프로파일)에 의해 결함이 유도됨을 고려한다.
• 등방성 국소화를 사용하여 북극과 남극에서의 인스탄톤 기여를 포함한 1-루프 보정 항과 결합함으로써, 인스탄톤 분할 함수를 계산하는 규정을 유도한다.
• 등방성 지표를 계산하기 위해 $a_i$, $\phi_I$, $\epsilon_1$, $\epsilon_2$, $\epsilon_+ = (\epsilon_1 + \epsilon_2)/2$를 포함한 특성 공식을 사용한다.
• 분할 함수는 청색 표준형 구성에 해당하는 극점에 대한 잔여치의 합으로 표현되며, 극점은 $\phi(m,n) = a_i + \epsilon_+ - m\epsilon_1 - n\epsilon_2$에 위치한다.
• 전체 분할 함수는 $k$-인스탄톤 기여의 합으로 구성되며, 각 항은 $\phi_I$ 변수에 대한 잔여치 적분 또는 단위 원형 경로를 사용한다.
• 기본 히폴리드에 대해서는, 인스탄톤 기여를 수정하기 위해 추가 인자 $\prod_{I,a} 2\sinh\left(\frac{\phi_I + m_a}{2}\right)$를 integrand에 포함시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 5차원 ${\cal N}=1$ 및 4차원 ${\cal N}=2$ 이론에서 8개의 초대칭을 가진 고차원 두 번째의 반-보존 표면 결함를 포함한 인스탄톤 분할 함수를 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 UV 이론 $T'$에서의 바이러스 구조를 이용하여, IR 이론 $T$에서의 결함 분할 함수를 정의하고 계산할 수 있는가?
• RQ3 결함가 수정된 인스탄톤 모듈리 공간의 정확한 수학적 구조는 무엇이며, 등방성 지표 계산에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 유도된 분할 함수가 알려진 이중성과 AGT 또는 세이버그-위튼 이론에서의 기존 결과와 어떻게 일치하는가?
• RQ5 고차원 두 번째에서의 GLSM 구조를 배경 게이지 이론에 일관되게 결합하여 계산 가능하고 물리적으로 의미 있는 분할 함수를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 $U(N)$ 게이지 이론에 $N_f$개의 기본 히폴리드를 포함한 5차원 네크라소프 인스탄톤 분할 함수에 대한 정확한 표현을 청색 표준형 구성의 합으로 유도한다: $Z_{k} = \sum_{\sum k_i = k} Z_{\vec{Y}}(a_i, m_a; \epsilon_1, \epsilon_2)$.
• $k$-인스탄톤 기여 $Z_k$는 $\phi_I$ 변수에 대한 잔여치 적분으로 계산되며, 극점은 $\phi(m,n) = a_i + \epsilon_+ - m\epsilon_1 - n\epsilon_2$에 위치하며, 이는 청색 표준형의 상자 위치에 해당한다.
• 각 극점에서의 잔여치는 닫힌 형태의 표현을 갖는다: $Z_{\vec{Y}} = \prod_{i=1}^{N} \prod_{(m,n) \in Y_i} \frac{\prod_a \sinh\left(\frac{\phi(m,n) + m_a}{2}\right)}{\prod_{j} 4 \sinh\left(\frac{E_{ij}(m,n)}{2}\right) \sinh\left(\frac{E_{ij}(m,n) - 2\epsilon_+}{2}\right)}$, 여기서 $E_{ij}(m,n) = a_i - a_j - \epsilon_1 h_i(m,n) + \epsilon_2 (v_j(m,n) + 1)$.
• 보정 기여는 $Z_{\rm pert} = \prod_{m,n=0}^{\infty} \frac{\prod_{i,j} 2\sinh'\left(\frac{a_{ij} - m\epsilon_1 - n\epsilon_2}{2}\right)}{\prod_{i,a} 2\sinh\left(\frac{a_i + m_a - \epsilon_+ - m\epsilon_1 - n\epsilon_2}{2}\right)}$로 주어지며, $\sinh(0)$ 항은 생략된다.
• 전체 분할 함수는 $Z_{\rm inst}^{U(N)} = \sum_{k=0}^{\infty} \lambda^k Z_k$로 주어지며, $Z_k$는 잔여치 적분을 통해 계산되며, 이 방법은 알려진 이중성과 AGT 유사 관계와 일관된다.