[논문 리뷰] Symbolic Dynamics, Partial Dynamical Systems, Boolean Algebras and C*-algebras Generated by Partial Isometries

Toke Meier Carlsen|ArXiv.org|2006. 04. 07.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 20인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 이원 이동 공간의 교차곱, 위상 마르코프 체계에 대한 쿤츠-크리거 대수, 일방 이동 공간에 대한 C*-대수의 세 가지 클래스를, 불리안 대수의 프로젝션과 부분 등장사상에 기반한 이산 부분 동역계로부터 유일한 C*-대수를 구성함으로써 통합한다. 주요 기여는 이러한 다양한 C*-대수가 하나의 구조에서 특수한 경우로 나타남을 보이고, 특정 성질을 만족하는 이원 이동 공간에 대해 교차곱이 해당 일방 이동 공간에 대응하는 C*-대수의 몫임을 증명하는 것이다.

ABSTRACT

We associate to each discrete partial dynamical system a universal C*-algebra generated by partial isometries satisfying relations given by a Boolean algebra connected to the discrete partial dynamical system in question. We show that for symbolic dynamical systems like one-sided and two-sided shift spaces and topological Markov chains with an arbitrary state space the C*-algebras usually associated to them, can be obtained in this way. As a consequence of this, we will be able to show that for two-sided shift spaces having a certain property, the crossed product of the two-sided shift space is a quotient of the C*-algebra associated to the corresponding one-sided shift space.

연구 동기 및 목표

• 기호 동역계와 관련된 세 가지 다른 C*-대수 구조—이원 이동 공간의 교차곱, 위상 마르코프 체계에 대한 쿤츠-크리거 대수, 일방 이동 공간에 대한 C*-대수—를 통합하는 것.
• 모든 세 구조가 이산 부분 동역계와 불리안 대수의 프로젝션에 기반한 단일 프레임워크에서 자연스럽게 유도됨을 보여주는 것.
• 특정 조건을 만족할 경우, 이원 이동 공간의 교차곱이 해당 일방 이동 공간에 대응하는 C*-대수의 몫임을 보여주는 구조적 연결 고리를 확립하는 것.
• 기호 시스템의 동역학적 구조가 그에 대응하는 C*-대수의 대수적 및 연산자 이론적 성질에 어떻게 반영되는지 명확히 하는 것.

제안 방법

• 이산 부분 동역계에 대해 부분 등장사상과 불리안 대수의 프로젝션에서 유도된 관계를 사용하여 유일한 C*-대수를 정의한다.
• 불리안 대수와 시스템의 동역학에 의해 결정되는 관계를 만족하는 부분 등장사상으로 생성되는 유일한 대상으로서 C*-대수를 구성한다.
• 이산 부분 동역계의 C*-대수로 표현된 C*-부분 동역계의 교차곱으로 표현될 수 있음을 보여준다.
• 부분 동역계의 공변 표현을 사용하여 C*-대수를 힐베르트 공간 위의 연산자로 표현한다.
• 일방 이동 공간의 C*-대수, 이원 이동 공간의 교차곱, 전이 행렬에 대한 쿤츠-크리거 대수 모두가 일반적 구성의 특수한 경우로 나타남을 증명한다.
• C*-대수의 아이디얼 구조를 이용하여 주요 결과를 도출한다: 특정 조건을 만족하는 이원 이동 공간에 대해 교차곱은 해당 일방 이동 공간에 대응하는 C*-대수의 몫이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일방 이동 공간, 이원 이동 공간, 임의의 상태 공간을 가진 위상 마르코프 체계에 대해 관련된 C*-대수들을 통합할 수 있는 단일 대수적 구성이 존재하는가?
• RQ2 기호 동역계의 구조는 부분 등장사상과 불리안 대수의 프로젝션으로 생성된 C*-대수의 성질에 어떻게 반영되는가?
• RQ3 일방 이동 공간의 C*-대수와 해당 이원 이동 공간에 대응하는 교차곱 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ4 이원 이동 공간의 교차곱이 언제 일방 이동 공간의 C*-대수의 몫으로 나타나는가?
• RQ5 이산 부분 동역계와 관련된 부분 등장사상으로 생성된 유일한 C*-대수는 언제 C*-부분 동역계의 교차곱으로 표현될 수 있는가?

주요 결과

• 일방 이동 공간에 대응하는 C*-대수는 해당 이산 부분 동역계로부터 구성된 C*-대수와 표준적으로 동형임을 보였다.
• 특정 구조적 조건을 만족하는 이원 이동 공간에 대해 교차곱은 해당 이산 부분 동역계로부터 구성된 C*-대수와 동형임을 보였다.
• 임의의 상태 공간을 가진 위상 마르코프 체계에 대한 전이 행렬의 쿤츠-크리거 대수는 이산 부분 동역계로부터 구성된 C*-대수로 나타남을 보였다.
• 지정된 성질을 만족하는 이원 이동 공간에 대해 교차곱은 해당 일방 이동 공간에 대응하는 C*-대수의 몫임을 보였다.
• 불리안 대수와 이산 부분 동역계로부터 유도된 관계를 만족하는 부분 등장사상으로 생성된 유일한 C*-대수의 구조는 세 가지 C*-대수 클래스를 모두 통합하는 프레임워크를 제공한다.
• 이산 부분 동역계의 C*-대수의 아이디얼 구조가 특징지어지며, 이는 일방 이동 공간과 이원 이동 공간의 C*-대수 간의 몫 관계 유도를 가능하게 한다.