[논문 리뷰] Symbolic Models for Nonlinear Time-Varying Time-Delay Systems via Alternating Approximate Bisimulation

Giordano Pola, Pierdomenico Pepe외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 11. 26.

Stability and Control of Uncertain Systems참고 문헌 29인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비선형 시간에 따라 변하는 시간 지연 시스템을 위한 기호 모델을 제안하며, 교호적 근사적 바이스미어를 사용하여 증분 입력지연-상태안정성(δ-IDSS)을 특성화한다. 이는 리아푸노프-크라소프스키 함수를 통해 이루어진다. 주요 기여는 이러한 시스템이 조정 가능한 정밀도로 원래 시스템과 교호적 근사적으로 바이스미어인 계산 가능한 기호 모델을 갖는다는 것을 증명하는 것이다.

ABSTRACT

Time-delay systems are an important class of dynamical systems that provide a solid mathematical framework to deal with many application domains of interest. In this paper we focus on nonlinear control systems with unknown and time-varying delay signals and we propose one approach to the control design of such systems, which is based on the construction of symbolic models. Symbolic models are abstract descriptions of dynamical systems where one symbolic state and one symbolic input correspond to an aggregate of states and an aggregate of inputs. We first introduce the notion of incremental input-delay-to-state stability and characterize it by means of Lyapunov-Krasovskii functionals. We then derive sufficient conditions for the existence of symbolic models that are shown to be alternating approximately bisimilar to the original system. Further results are also derived which prove the computability of the proposed symbolic models in a finite number of steps.

연구 동기 및 목표

• 공 ing 및 생물학적 시스템에서 흔한 알려지지 않은 시간에 따라 변하는 지연을 가진 비선형 시스템을 제어하는 데 도전하는 것.
• 기존의 알려진/일정한 지연에서 시간에 따라 변하는 지연 신호로까지 기호 모델 기반 제어 설계를 확장하는 것.
• 연속시간 지연 시스템에서 복잡한 사양(예: 안전성, 생존성)을 이산 추상화를 통해 공식적으로 검증할 수 있는 프레임워크를 제공하는 것.
• 상태, 입력 및 지연에 대한 유계성 가정 하에 기호 모델이 유한 시간 내에 계산 가능하다는 것을 보장하는 것.
• 제어 이론적 안정성과 형식적 방법 간의 연결을 새로운 안정성 개념인 δ-IDSS를 통해 수립하는 것.

제안 방법

• 기존 초기 조건, 입력 및 지연 신호에 따른 궤적 불일치를 정량화하는 새로운 증분 입력지연-상태안정성(δ-IDSS) 개념을 도입한다.
• 두 시스템 궤적 간의 차이에 의존하는 리아푸노프-크라소프스키 함수를 사용하여 δ-IDSS를 특성화한다.
• 각 기호 상태 및 입력이 연속 상태 및 입력의 집합을 나타내며, 시간 지연 신호 또한 추상화된 기호 모델을 구성한다.
• 원래 시스템과 그 기호 모델 간의 교호적 근사적 바이스미어를 수립하여 사용자가 정의한 정밀도 내에서 행동을 근사함을 보장한다.
• 상태, 입력 및 지연 집합에 대한 유계성 가정 하에 기호 모델의 유한단계 계산 절차를 제안한다.
• 이전 연구에서 유래한 알고리즘을 개선하여 계산 효율성을 향상시키며, 2차원 시간지연 시스템에 대한 수치 사례 연구를 통해 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 알려지지 않은 지연을 가진 비선형 시간에 따라 변하는 시간지연 시스템에 대해 기호 모델을 구성할 수 있는가?
• RQ2 기호 모델이 원래 시스템과 교호적 근사적으로 바이스미어일 수 있도록 보장하기 위해 필요한 안정성 성질은 무엇인가?
• RQ3 기호 추상화의 정밀도를 어떻게 제어하고 임의로 작게 만들 수 있는가?
• RQ4 실용적인 유계성 가정 하에 기호 모델은 유한 시간 내에 계산 가능한가?
• RQ5 제안된 프레임워크는 안정화 이외의 복잡한 제어 사양(예: 동기화, 안전성)을 지원할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 δ-IDSS 조건은 초기 조건, 입력 및 시간지연 신호의 차이에 대한 궤적 민감도를 반영하는 리아푸노프-크라소프스키 함수를 통해 특성화된다.
• 수치 예제에서 β(ω,t) = 4.3580e^(-1.0870t)ω, γ_U(ω) = 13.5647ω, γ_D(ω) = 194.1666ω로 설정된 δ-IDSS 리아푸노프-크라소프스키 함수를 구성하여 시스템의 δ-IDSS를 확인하였다.
• ε = 0.12일 때, τ = 2, λ_X = 0.02, λ_U = 5×10⁻⁴, λ_D = 1.4×10⁻⁴를 사용하여 기호 모델을 구성하였으며, 필요한 바이스미어 부등식을 만족하였다.
• 표준 알고리즘을 사용하여 기호 모델을 약 203,215초 내에 계산하였고, 최적화된 알고리즘을 적용하여 표준 랩탑에서 해결 시간을 7,692초로 단축시켰다.
• 기호 제어 전략은 시뮬레이션을 통해 시간에 따라 변하는 지연 Δ(t) = 1.5 + 0.5sin(0.01t) 하에서 원래 시스템에서 동기화를 성공적으로 달성하였다.
• 프레임워크는 기호 모델이 원래 시스템과 교호적 근사적으로 바이스미어임을 보장하여, 복잡한 제어 사양의 공식적 검증 및 합성 가능성을 보장한다.