[논문 리뷰] Symmetries and Critical Phenomena in Fluids

Tarek M. Elgindi, In‐Jee Jeong|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 30.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 36인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 이산 회전 대칭 조건을 도입하여 2D Euler 및 표면 준지구학적(SQG) 방정식에 대해 새로운 존재성 및 유일성 이론을 수립한다. 이는 척도 불변성과 유계 비타스티시티 솔루션에 대한 잘 정의된 문제를 가능하게 한다. 초점은 초선형 또는 지수적 성장률을 보이는 시간 준주기적이고 컴팩트한 초점 솔루션을 구축하며, 1D 모델에서의 유한 시간 내 폭발이 2D SQG 솔루션의 잠재적 폭발과 연결됨을 보여준다.

ABSTRACT

We show that given an initial vorticity which is bounded and $m$-fold rotationally symmetric for $m \ge 3$, there is a unique global solution to the 2D Euler equation on the whole plane. That is, in the well-known $L^1 \cap L^\infty$ theory of Yudovich, the $L^1$ assumption can be dropped upon having an appropriate symmetry condition. This contains a class of radially homogeneous solutions to the 2D Euler equation, which gives rise to a new 1D fluid model. We discuss several interesting properties of this 1D system. Using this framework, we construct time quasi-periodic solutions to the 2D Euler equation exhibiting pendulum-like behavior. We also exhibit solutions with compact support for which angular derivatives grow linearly in time or exponential in time (the latter being in the presence of a boundary). A similar study can be done for the surface quasi-geostrophic (SQG) equation. Using the same symmetry condition, we prove local existence and uniqueness of solutions which are merely Lipschitz continuous near the origin - though, without the symmetry, Lipschitz initial data is expected to lose its Lipschitz continuity immediately. Once more, a special class of radially homogeneous solutions is considered and we extract a 1D model which bears great resemblance to the so-called De Gregorio model. We then show that finite-time singularity formation for the 1D model implies finite-time singularity formation in the class of Lipschitz solutions to the SQG equation which are compact support. While the study of special infinite energy solutions to fluid models is classical, this appears to be the first case where they can be embedded into a natural existence/uniqueness class for the equation. Moreover, these special solutions approximate finite-energy solutions for long time and have a direct bearing on the global regularity problem for finite-energy solutions.

연구 동기 및 목표

• 초기 자료가 L¹에 속하지 않더라도 유계이지만 L¹에 속하지 않는 경우에 대해 2D Euler 및 SQG 방정식에 대한 임계적인 잘 정의된 문제 이론을 수립하기 위해 대칭을 사용하여 고전적인 적분 조건을 대체한다.
• 이산 회전 대칭 조건이 2D Euler 방정식에서 유계 비타스티시티 초기 자료에 대해 전역 존재성 및 유일성을 보장함을 보여주며, L¹ 적분 조건이 없더라도 가능하다.
• 반경 방향으로 동일한 비타스티시티를 통해 척도 불변 솔루션을 구성하고, 2D 동역학을 원주 S¹ 상의 1D 진화 방정식으로 축소한다.
• 반경 방향 동일성 하에서 유도된 1D 시스템을 분석하여 초선형 또는 지수적 성장률을 보이는 각도 도함수를 가진 솔루션을 보여주며, 이들의 폭발이 전체 2D Euler 및 SQG 방정정식에서의 유한 시간 내 폭발과 연결됨을 밝힌다.
• 대칭 조건이 SQG에서 립시츠 초기 자료에 대해 국소적으로 잘 정의된 문제를 가능하게 하며, 이는 대칭이 없을 경우 즉각적으로 정규성 손실이 발생하는 것을 방지함을 보여준다.

제안 방법

• Yudovich 이론에서 L¹ 가정을 대체하기 위해 비타스티시티에 이산 회전 대칭 조건을 도입하여, 2D Euler 방정식에서 유계 비타스티시티에 대해 전역 존재성 및 유일성을 보장한다.
• 공간에서 0-동차인 반경 방향 동일 비타스티시티를 정의하여 척도 불변 솔루션을 구성하고, 원주 S¹ 상의 1D 진화 방정식으로 축소한다.
• 반경 방향 동일성 하에서 2D Euler 방정식으로부터 유도된 1D 시스템을 분석하여, 펜듈럼 유사 동역학을 보이는 시간 준주기적 솔루션을 지닌다는 것을 보여준다.
• 1D 모델을 사용하여 각도 도함수가 시간에 따라 거의 제곱형 또는 지수적으로 성장하는 컴팩트한 초점 2D Euler 솔루션을 구성하며, 특히 경계 근처에서 두드러진다.
• SQG에 대해서는 동일한 대칭 프레임워크를 적용하여, 립시츠 초기 자료에 대해 임계 공간에서 국소적으로 잘 정의된 문제를 증명하고, De Gregorio 방정식과 유사한 1D 모델을 유도한다.
• 폭발 기준을 수립: 만약 1D 모델이 유한 시간 내에 폭발한다면, 컴팩트한 초점과 립시츠 초기 자료를 가진 SQG 방정식의 전체 2D 솔루션에서도 유한 시간 내 폭발이 발생함을 의미한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 L¹ 가정을 제거하고도 이산 회전 대칭 조건이 부여된 2D Euler 방정식에서 유계 비타스티시티에 대해 전역 존재성 및 유일성을 확립할 수 있는가?
• RQ2 반경 방향 동일성 조건 하에서 2D Euler 방정식의 척도 불변 솔루션에서 나타나는 역학적 행동은 무엇이며, 준주기적 운동을 나타낼 수 있는가?
• RQ3 반경 방향 동일성 조건 하에서 2D Euler 솔루션의 1D 축소 모델이 시간에 따라 초선형 또는 지수적 성장률을 보이는 기울기 성장률을 나타낼 수 있으며, 이는 전체 2D 동역학에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 SQG의 1D 모델에서의 유한 시간 내 폭발이, 컴팩트한 초점과 립시츠 초기 자료를 가진 전체 2D SQG 방정식에서의 유한 시간 내 폭발 형성과 관련이 있는가?
• RQ5 대칭 기반 존재성 및 유일성 이론을 3D Euler 또는 SQG와 같은 다른 활성 스칼라 방정식으로 확장할 수 있으며, 이는 전역 정규성 문제에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 이산 회전 대칭 조건을 가진 유계 비타스티시티의 클래스는 L¹ 적분 조건이 없더라도 2D Euler 방정식에 대해 전역 존재성 및 유일성 클래스이다.
• 명시적인 예시들은 대칭 조건이 없을 경우 유일성이 성립하지 않음을 보여주며, 잘 정의된 문제 결과에 있어 대칭 조건의 필수성을 확인한다.
• 반경 방향 동일 비타스티시티는 S¹ 상의 1D 진화를 유도하며, 펜듈럼 유사 행동을 보이는 시간 준주기적 솔루션을 지닌다.
• 이 프레임워크 하에서 컴팩트한 초점 2D Euler 솔루션은 경계가 존재할 경우 특히 각도 도함수 성장률이 거의 제곱형 또는 지수적으로 시간에 따라 증가한다.
• SQG 방정식에 대해서는 대칭 조건이 립시츠 초기 자료에 대해 국소적으로 잘 정의된 문제를 가능하게 하며, 이는 대칭이 없을 경우 즉각적인 정규성 손실이 발생함을 방지한다.
• SQG의 1D 모델에서의 유한 시간 내 폭발은 전체 2D SQG 방정식에서 컴팩트한 초점과 립시츠 초기 자료를 가진 솔루션 클래스에서의 유한 시간 내 폭발 형성과 관련이 있다.