[논문 리뷰] Symmetry protected topological phases from decorated domain walls

Xie Chen, Yuan-Ming Lu외 1명|RePEc: Research Papers in Economics|2013. 03. 18.

Topological Materials and Phenomena인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 1차원, 2차원, 3차원에서 Z₂ 도메인 벽에 더 낮은 차원의 SPT 상태를 장식함으로써 대칭 보호 양자 위상(SPT) 상태의 물리적 구성 방법을 제안한다. Z₂ 도메인 벽이 자체적으로 비자명한 SPT 상태에 있을 때, 이들이 응축되면 고차원 SPT 순서가 실현됨을 보여주며, 직관적인 파동함수를 제공하고 군 코homology 및 장 이론과 연관시킨다. 이 구성은 경계 모드와 게이지화된 이론에서의 프로젝션 대칭 표현을 설명한다.

ABSTRACT

Symmetry protected topological (SPT) phases with unusual edge excitations can emerge in strongly interacting bosonic systems and are classified in terms of the cohomology of their symmetry groups. Here we provide a physical picture that leads to an intuitive understanding and wavefunctions for several SPT phases in d=1,2,3 dimensions. We consider symmetries which include a Z_2 subgroup, that allows us to define domain walls. While the usual disordered phase is obtained by proliferating domain walls, we show that SPT phases are realized when these proliferated domain walls are `decorated', i.e. are themselves SPT phases in one lower dimension. For example a d=2 SPT phase with Z_2 and time reversal symmetry is realized when the domain walls that proliferate are themselves in a d=1 Haldane/AKLT state. Similarly, d=3 SPT phases with Z_2 * Z_2 symmetry emerges when domain walls in a d=2 SPT with Z_2 symmetry are proliferated. The resulting ground states are shown to be equivalent to that obtained from group cohomology and field theoretical techniques. The result of gauging the Z_2 symmetry in these phases is also discussed. An extension of this construction where time reversal plays the role of Z_2 symmetry allows for a discussion of several d=3 SPT phases. This construction also leads to a new perspective on some well known d=1 SPT phases, from which exactly soluble parent Hamiltonians may be derived.

연구 동기 및 목표

• 추상적인 코homology 분류를 넘어서 상호작용을 고려한 보존계에서 대칭 보호 양자 위상(SPT) 상태의 물리적이고 직관적인 그림을 제공하기 위해.
• Z₂ 도메인 벽이 자체적으로 더 낮은 차원의 SPT 상태일 때, 이들이 부피 내에서 확산될 경우 SPT 순서가 어떻게 실현되는지 설명하기 위해.
• 장식된 도메인 벽 구성이 기존의 군 코homology 및 초전도체 이론과 같은 프레임워크와 어떻게 연결되는지 설명하기 위해.
• 이 구성에서 알려진 SPT 위상에 대해 정확히 해석 가능한 해밀토니안을 유도하기 위해.
• Z₂ 대칭을 게이지화했을 때 도메인 벽 진동자에 미치는 영향과 그로 인한 프로젝션 대칭의 영향을 분석하기 위해.

제안 방법

• 이 구성은 Z₂ × G 대칭을 갖는 시스템에서 Z₂ 도메인 벽을 위상 결함으로 사용하며, 여기서 G는 더 낮은 차원의 SPT 상태의 대칭군이다.
• 이 방법은 도메인 벽이 위상적으로 자명한 상태에서는 확산(응축)되지만, SPT 상태에서는 이 벽들이 더 낮은 차원의 비자명한 SPT 상태로 '장식'된다고 가정한다.
• 예를 들어, 1차원 Z₂ 도메인 벽이 Haldane/AKLT 체인(1차원 SPT 상태)으로 장식된 경우, Z₂ × Z₂^T 대칭을 갖는 2차원 SPT 위상이 발생한다.
• 메이저라나 및 Z₂ 게이지 변수를 사용하여 이 시스템을 이중 스핀 모델로 매핑함으로써 정확히 해석 가능하고 경계 상태 분석이 가능해진다.
• 저에너지 경계 이론은 이중 변수를 통해 유도되며, Z₂와 시간 역전 대칭 하에서 특정 변환을 갖는 캐럴리안 루팅 액체를 도출한다.
• 경계 모드가 시간 역전 하에서 프로젝션 표현으로 변환됨을 보여줌으로써 이 구성이 타당함을 검증한다. 이는 SPT 위상에서 기대되는 프로젝션 표현과 일치한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 d 차원에서 SPT 위상은 어떻게 더 낮은 차원의 SPT 상태를 도메인 벽 장식을 통해 물리적으로 구성할 수 있는가?
• RQ2 강한 상호작용을 갖는 보존계에서, Z₂ 도메인 벽의 확산이 비자명한 SPT 순서를 실현하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 장식된 도메인 벽 구성의 경계 모드는 대칭군의 프로젝션 표현을 어떻게 실현하는가?
• RQ4 이러한 장식된 SPT 위상에서 경계 상태의 저에너지 효과적 장 이론은 무엇인가?
• RQ5 Z₂ 대칭을 게이지화했을 때 도메인 벽의 위상적 성질과 그 양자수는 어떻게 변화하는가?

주요 결과

• 장식된 도메인 벽 구성은 군 코homology의 분류와 동일한 결과를 재현하여, SPT 위상 분류에 대해 그 타당성을 확인한다.
• Z₂ 도메인 벽이 경계에서 열릴 경우, 그 끝점은 더 낮은 차원의 SPT 상태의 무가시 경계 모드를 갖는다. 이는 경계 모드의 위상적 보호 원리를 설명한다.
• 2차원 Z₂ × Z₂^T SPT 위상의 저에너지 경계 이론은 특정 대칭 변환을 갖는 캐럴리안 루팅 액체이다: Z₂는 φ₁에 대해 부호 반전을, 시간 역전은 φ₁과 φ₂에 대해 이동을 수행한다.
• 도메인 벽 연산자는 시간 역전 하에서 D(x) → -i D†(x)로 변환되며, 이는 도메인 벽이 프로젝션 시간 역전 양자수를 지닌다는 것을 나타내며, 경계 상태의 프로젝션 표현과 일치한다.
• 이 구성은 Z₂ 게이지 및 메이저라나 자유도를 갖는 이중 스핀 모델로 매핑함으로써 알려진 SPT 위상(예: 1차원 Haldane 체인, 2차원 Z₂ × Z₂^T SPT 위상)에 대해 정확히 해석 가능한 해밀토니안을 도출한다.
• 이중 모델에서 유도된 효과적 장 이론은 SPT 위상의 K-행렬 초전도체 이론과 일치하여 위상장 이론 접근법과의 일관성을 확인한다.