[논문 리뷰] Syntactic Complexity of Finite/Cofinite, Definite, and Reverse Definite Languages

Janusz Brzozowski, David Liu|arXiv (Cornell University)|2012. 03. 13.

semigroups and automata theory참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 상태 복잡도 $n$ 에 대한 유한/공유유한, 결정적, 역결정적 언어의 문법적 복잡도를 분석함으로써, 그들의 문법적 반군 크기를 연구한다. 이는 유한/공유유한 및 역결정적 언어에 대해 $(n-1)!$ 의 날카로운 상한을 확립하고, 결정적 언어에 대해 $l e\cdot(n-1)!\rfloor$ 가 날카로운 상한일 것이라 추측하며, $n \leq 4$ 에서는 검증되었고, 이에 필요한 알파벳 크기 요구 조건을 제시한다.

ABSTRACT

We study the syntactic complexity of finite/cofinite, definite and reverse definite languages. The syntactic complexity of a class of languages is defined as the maximal size of syntactic semigroups of languages from the class, taken as a function of the state complexity n of the languages. We prove that (n-1)! is a tight upper bound for finite/cofinite languages and that it can be reached only if the alphabet size is greater than or equal to (n-1)!-(n-2)!. We prove that the bound is also (n-1)! for reverse definite languages, but the minimal alphabet size is (n-1)!-2(n-2)!. We show that \lfloor e\cdot (n-1)! floor is a lower bound on the syntactic complexity of definite languages, and conjecture that this is also an upper bound, and that the alphabet size required to meet this bound is \floor{e \cdot (n-1)!} - \floor{e \cdot (n-2)!}. We prove the conjecture for n\le 4.

연구 동기 및 목표

• 유한/공유유한, 결정적, 역결정적 언어의 최대 문법적 복잡도(문법 반군 크기)를 상태 복잡도 $n$ 의 함수로 결정하는 것.
• 각 클래스에서 최대 문법적 복잡도를 달성하기 위해 필요한 최소 알파벳 크기를 규명하는 것.
• 유한/공유유한 및 역결정적 언어에 대해 날카로운 상한을 확립하고, 결정적 언어에 대해 상한을 추측하고 검증하는 것.
• 결정적 언어와 역결정적 언어 사이의 문법적 복잡도 상한에 대한 비대칭성은 그 이중성에도 불구하고 지속되는 이유를 탐구하는 것.
• 스타-프리 언어의 부분계열인 도트 깊이 계층 내에서 문법적 복잡도에 대한 이해를 확장하는 것.

제안 방법

• 문자열 동치성과 Myhill-Nerode 등가관계를 사용하여 각 언어 클래스의 최소 DFA의 전이 반군을 특성화하는 것.
• 결정적 언어에 해당하는 전이 반군 $B_n$ 을 정의하고, 그 구조와 생성자를 분석하는 것.
• 조합적 수세기 기법을 사용하여 $B_n$ 의 최소 생성집합 $H_n$ 의 크기를 계산함으로써 $|H_n| = \lfloor e(n-1)!\rfloor - \lfloor e(n-2)!\rfloor$ 를 도출하는 것.
• 그들의 전이 반군의 구조적 성질을 이용하여, 역결정적 언어 및 유한/공유유한 언어의 문법적 복잡도가 정확히 $(n-1)!$ 임을 증명하는 것.
• 유도된 상한과 일치하는 알파벳 크기의 $n$ 개 상태를 가진 최소 DFA 를 구성하고, 도달 가능성과 구별 가능성에 기반하여 최소성과 정확성을 입증하는 것.
• 지수 생성함수와 계승 기반 상한을 적용하여, 특히 결정적 언어의 경우 문법적 복잡도의 증가 추세를 분석하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상태 복잡도 $n$ 을 가진 유한/공유유한 언어의 문법적 복잡도에 대한 날카로운 상한은 무엇인가요?
• RQ2 상태 복잡도 $n$ 을 가진 역결정적 언어의 문법적 복잡도에 대한 날카로운 상한은 무엇인가요?
• RQ3 상태 복잡도 $n$ 을 가진 결정적 언어에서 달성 가능한 최대 문법적 복잡도는 무엇이며, 이를 달성하기 위해 필요한 알파벳 크기는 얼마인가요?
• RQ4 결정적 언어에 대해 $l e(n-1)!\rfloor$ 가 상한으로서 참임을 모든 $n$ 에 대해 증명할 수 있을까요?
• RQ5 문법 동치성이 대칭임에도 불구하고, 왜 결정적 언어와 역결정적 언어 사이의 문법적 복잡도 상한에 대한 비대칭성이 지속되는가요?

주요 결과

• 상태 복잡도 $n$ 을 가진 유한/공유유한 언어의 문법적 복잡도는 정확히 $(n-1)!$ 이며, 이 상한은 알파벳 크기가 $(n-1)! - (n-2)!$ 이상일 때에만 날카로운 상한이 된다.
• 상태 복잡도 $n$ 을 가진 역결정적 언어의 문법적 복잡도 역시 $(n-1)!$ 이지만, 이 상한을 달성하기 위해서는 알파벳 크기가 $(n-1)! - 2(n-2)!$ 가 되어야 한다.
• 결정적 언어의 경우 $l e(n-1)!\rfloor$ 는 문법적 복잡도의 하한이며, 이 상한은 알파벳 크기가 $\lfloor e(n-1)!\rfloor - \lfloor e(n-2)!\rfloor$ 일 때 달성 가능하다.
• 결정적 언어에 대해 $l e(n-1)!\rfloor$ 가 날카로운 상한임을 $n \leq 4$ 에서는 증명하였다.
• 결정적 언어의 전이 반군 $B_n$ 의 최소 생성집합 $H_n$ 의 크기는 $\lfloor e(n-1)!\rfloor - \lfloor e(n-2)!\rfloor$ 이며, 이는 필요한 알파벳 크기와 정확히 일치한다.
• 상태 수가 $n$ 인 최소 DFA 와 전이 반군 $B_n$ 을 구성함으로써, 수용되는 언어가 결정적임을 확인하였고, 이에 따라 문법적 복잡도는 $\lfloor e(n-1)!\rfloor$ 가 된다.