[논문 리뷰] Synthesis of unitaries with Clifford+T circuits

Vadym Kliuchnikov|arXiv (Cornell University)|2013. 06. 13.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 10인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 반올림을 통해 정수환 ℤ[i, 1/√2]에 기반하고 Householder 반사에 의한 정확한 합성 기법을 활용하여, O(4ⁿn(log(1/ε) + n))개의 게이트와 두 개의 앤실라를 사용해 임의의 n-qubit 유니터리 행렬을 근사하는 새로운 방법을 제시한다. 이는 점근적으로 최적의 게이트 수를 달성하며, 이전의 이중 지수적 자원을 요구하는 정확한 합성 방법보다 향상된 성능을 보인다.

ABSTRACT

We describe a new method for approximating an arbitrary $n$ qubit unitary with precision $\varepsilon$ using a Clifford and T circuit with $O(4^{n}n(\log(1/\varepsilon)+n))$ gates. The method is based on rounding off a unitary to a unitary over the ring $\mathbb{Z}[i,1/\sqrt{2}]$ and employing exact synthesis. We also show that any $n$ qubit unitary over the ring $\mathbb{Z}[i,1/\sqrt{2}]$ with entries of the form $(a+b\sqrt{2}+ic+id\sqrt{2})/2^{k}$ can be exactly synthesized using $O(4^{n}nk)$ Clifford and T gates using two ancillary qubits. This new exact synthesis algorithm is an improvement over the best known exact synthesis method by B. Giles and P. Selinger requiring $O(3^{2^{n}}nk)$ elementary gates.

연구 동기 및 목표

• 임의의 n-큐비트 유니터리 행렬을 클리포드 게이트와 T 게이트만을 사용해 효율적인 근사 방법을 개발하는 것.
• 이전 방법보다 이중 지수적 자원을 요구하는 것을 방지하기 위해, ℤ[i, 1/√2]에서의 유니터리 행렬에 대한 정확한 합성에 필요한 게이트 수를 줄이는 것.
• 제곱근을 피하고 기본 연산에 대해 대수적 닫힘성을 유지하는, 구조를 유지하는 분해를 제공하는 것.
• 고정된 큐비트 수에서 근사 및 정확한 합성에 대해 게이트 수의 점근적 최적성을 달성하는 것.
• 다중 큐비트 유니터리에 대한 이전 정확한 합성 알고리즘의 이중 지수적 게이트 수를 향상시키는 것.

제안 방법

• 이 방법은 n-큐비트 유니터리 행렬을 2ⁿ개의 반사 연산자와 항등행렬로 설정된 대각 유니터리로 표현하기 위해 Householder 분해를 사용한다.
• 반사 연산자는 |wⱼ±⟩ = (|1⟩⊗|j⟩ ± |0⟩⊗|uⱼ⟩)/√2 형태의 단위 벡터에서 구성되며, 여기서 |uⱼ⟩는 목표 유니터리 행렬 U의 열들이다.
• 알고리즘은 각 열 벡터 |uⱼ⟩를 ℤ[i, 1/√2]의 원소를 갖는 벡터로 반올림하여 덧셈, 뺄셈, 1/√2 곱셈에 대한 대수적 구조를 유지한다.
• 각 반사는 ℤ[i, 1/√2]에서의 벡터를 사용하는 제어된 구조와 두 개의 반사로 근사되며, 정확한 클리포드+T 합성을 가능하게 한다.
• 근사 정밀도는 각 항목을 O(log(1/ε))비트로 반올림하여 제어되며, 이는 프로베니우스 노름 거리 ≤ ε을 보장한다.
• ℤ[i, 1/√2]에서의 유니터리 행렬에 대한 정확한 합성은 두 개의 앤실라와 O(4ⁿnκ)개의 게이트를 사용하여 달성되며, 여기서 κ는 분모의 지수이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 n-큐비트 유니터리 행렬이 n과 ε에 대해 점근적으로 최적인 게이트 수를 갖는 클리포드+T 회로로 근사될 수 있는가?
• RQ2 ℤ[i, 1/√2]에서의 유니터리 행렬에 대한 정확한 합성은 이전 방법보다 지수적으로 개선된 게이트 수로 달성될 수 있는가?
• RQ3 제곱근을 피하고 기본 연산에 대해 닫힘성을 유지하는 분해가 더 효율적인 합성 가능성을 제공하는가?
• RQ4 목표 유니터리의 구조가 합성 과정에서 유지되어 부분적으로 지정되거나 희소한 행렬에 대해 효율성을 향상시킬 수 있는가?
• RQ5 정확한 및 근사 합성에서 효율적인 게이트 수를 유지하면서 앤실라 요구량을 줄일 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 임의의 n-큐비트 유니터리 행렬이 O(4ⁿn(log(1/ε) + n))개의 클리포드 및 T 게이트와 최대 두 개의 앤실라를 사용해 프로베니우스 노름 거리 ε 이내로 근사될 수 있음을 입증한다.
• 고정된 n에 대해 게이트 수의 점근적 최적성을 달성하며, 정보 이론적 하한선과 일치한다.
• 형태 (a + b√2 + ic + id√2)/2ᵏ를 갖는 ℤ[i, 1/√2]에서의 n-큐비트 유니터리 행렬에 대한 정확한 합성은 두 개의 앤실라를 사용해 O(4ⁿnk)개의 클리포드 및 T 게이트로 수행된다.
• 이 정확한 합성 방법은 이전의 Giles와 Selinger의 O(3²ⁿnk) 게이트 수를 개선하여 지수적 차원에서 이중 지수적 지수를 지수적 지수로 줄였다.
• 알고리즘은 제곱근을 계산하지 않고 덧셈, 뺄셈, 1/√2 곱셈만을 사용하여 ℤ[i, 1/√2]에 속하는 성질을 유지한다.
• 항목을 정밀도 2⁻ᵐ로 반올림할 경우, 원래와 근사된 반사 연산자 간의 프로베니우스 거리는 ε 이하로 제한되며, 이때 m = ⌈n/2 + log₂(1/ε²)⌉ + 5이다.