[논문 리뷰] System of equations and staggered solution algorithm for immiscible two-phase flow coupled with linear poromechanics

Saumik Dana|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 08.

Enhanced Oil Recovery Techniques참고 문헌 38인용 수 26

한 줄 요약

이 논문은 탄성 다공성 매체에서 불가분성 두상 수유류를 위한 연성 방정식계와 단계적 해법 알고리즘을 제안한다. 유량에는 혼합 유한요소법을, 다공성 기계학에는 일치하는 갈레르킨 방법을 적용한다. 주요 기여는 질량 보존을 강제로 유지하고 유체 압축성 및 모세관 압력 효과를 처리하면서 고체 변형에 의한 유량 피드백을 가능하게 하는 강력한 단일 해법 전략이다.

ABSTRACT

This document is a presentation of the equations of simultaneous water and oil flow in deformable porous medium and linear poromechanics as well as the staggered solution algorithm to solve the coupled system of equations.

연구 동기 및 목표

• 탄성 다공성 매체에서 선형 다공성 기계학과 결합된 불가분성 두상 수유류를 위한 일관된 수학적 모델 개발.
• 고체 변형이 유량 역학에 미치는 영향을 간과하는 전통적 모델의 한계 해결.
• 질량 보존과 물리적 일관성을 유지하면서 유체 압축성, 모세관 압력, 상대 투과도 효과를 통합하는 방법 개발.
• 단계적 해법 전략을 통해 안정적이고 정확한 연성 시스템 해법을 가능하게 하는 수치 알고리즘 설계.
• 잔류 포화도와 압축성 유체 거동으로 인한 비선형성 및 퇴화 현상에 대한 강건성 확보.

제안 방법

• 유량 보존, 다르시의 법칙, 상 압력 관계를 포함한 편미분 방정식계 유도. 유체 압축성 및 모세관 압력 고려.
• 국소 질량 보존과 정확한 유량 근사화를 보장하기 위해 향상된 BDDF-1 속도 공간을 사용한 혼합 유한요소 설정 도입.
• 단계적 해법 알고리즘 적용: 먼저 뉴턴-라프슨 선형화를 통해 유량 시스템을 풀고, 그 다음 일치하는 갈레르킨 방법을 사용해 다공성 기계학 시스템을 풀음.
• 다공성 기계학에서의 체적 변형을 유량 모델의 피드백 항으로 사용하며, 유량 압력을 다공성 기계학 방정식의 소스 항으로 활용.
• 잔류 포화도에서 발생하는 수치적 문제를 피하기 위해 $ ilde{ extbf{z}}_{eta} = \frac{1}{\tilde{\rho}_{\beta}} \textbf{z}_{\beta}$ 를 통한 변수 변환 적용.
• 속도 공간의 컬 기반 강화를 통해 요소 면 간 정규 속도 연속성 확보. 이는 국소 보존을 유지하고 다점 유량 근사화를 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 탄성 다공성 매체에서 선형 다공성 기계학과 결합된 불가분성 수유류를 위한 일관적이고 보존적인 수학적 모델을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 유체 압축성과 모세관 압력이 이중상 시스템에서 유량과 고체 변형 간의 결합에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ3 잔류 포화도와 퇴화하는 상대 투과도로 인한 수치적 불안정성을 알고리즘에서 어떻게 완화할 수 있는가?
• RQ4 유동-다공성 기계학 시스템의 안정성과 정확성을 보장하는 최적의 단계적 해법 전략은 무엇인가?
• RQ5 체적 변형이 유량 압력과 포화도에 미치는 피드백은 전체 시스템 거동에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 제안된 단계적 알고리즘은 제약 조건이 부여된 방정식계에 대한 뉴턴-라프슨 반복을 통해 유량 시스템을 먼저 풀음으로써 이중상 유동과 선형 다공성 기계학을 성공적으로 결합한다.
• 향상된 BDDF-1 속도 공간을 사용한 혼합 유한요소법은 복잡한 상 거동이 존재하는 상황에서도 국소 질량 보존과 정확한 유량 근사화를 보장한다.
• 압축성 유체는 지수 밀도 모델 $\rho_{\beta} = \rho_{\beta 0} e^{c_{\beta}(p_{\beta}-p_{\beta 0})}$ 을 통해 처리되며, 이는 탄성 유동 영역에서 정확도를 향상시킨다.
• 모세관 압력은 젖는 상의 포화도 함수로 모델링되며 히스테리시스 효과를 고려하며, 임계 포화도와 잔류 포화도를 모두 반영한다.
• 다공성 기계학에서의 피드백은 체적 변형을 통해 구현되며, 이는 다공성도를 변화시켜 유량 질량 보존과 유량에 영향을 준다.
• 압축성을 포함할 경우 시스템은 포화도에 대해 포물선형이 되며, 압축성과 모세관 압력을 모두 무시할 경우에만 쌍곡선 시스템으로 퇴화한다.