[논문 리뷰] Szegő kernel expansion and equivariant embedding of CR manifolds with circle action

Hartmut Herrmann, Chin-Yu Hsiao외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 12.

Holomorphic and Operator Theory참고 문헌 20인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 강한 강력한 슈바르츠-지오의 커널에 대한 점근 전개를 정착된 강력한 슈바르츠-지오의 다성분에서 얻는다. 이 전개를 이용하여 저자들은 등변 CR 임bedding 정리를 증명하며, 이러한 다성분이 복소 공간 $\mathbb{C}^N$에 단순한 $S^1$-행동을 갖는 등변으로 임베드될 수 있음을 보여준다. 이 경우 최소 무게는 임의로 크게 만들 수 있다.

ABSTRACT

Let $X$ be a compact strongly pseudoconvex CR manifold with a transversal CR $S^1$-action. In this paper, we establish the asymptotic expansion of Szegő kernels of positive Fourier components and by using the asymptotics, we show that $X$ can be equivariant CR embedded into some $\mathbb C^N$ equipped with a simple $S^1$-action. An equivariant embedding of quasi-regular Sasakian manifold is also derived.

연구 동기 및 목표

• 정착된 강력한 슈바르츠-지오의 다성분에서 전이 $S^1$-행동을 갖는 강력한 슈바르츠-지오의 다성분에 대한 슈바르츠-지오 커널의 점근 전개를 수립하는 것.
• 분석적 방법을 이용하여 이러한 슈바르츠-지오의 다성분의 등변 임베딩 문제를 다루는 것.
• 임베딩이 $\mathbb{C}^N$에서 단순한 $S^1$-행동에 대해 등변으로 만들 수 있으며, 이 경우 최소 무게를 임의로 크게 만들 수 있도록 하는 것.
• 등변성과 커널 점근적 성질을 통한 분석적 제어를 포함하여 기존의 임베딩 결과를 확장하는 것.

제안 방법

• 기술 [22, 23] 과 일반 전개 결과 (정리 2.4) 를 사용하여, 슈바르츠-지오 커널 $S_m$ 의 정규 부분에서 점근 전개를 유도하는 것.
• 정규가 아닌 부분에서의 특이성을 다루기 위해 수정된 전개 (정리 2.7) 를 증명하며, 주어진 항이 부드럽게 변화하지 않음에도 불구하고.
• 커널 전개를 이용하여 $\mathbb{C}^N$ 으로의 등변 임베딩을 이루는 CR 함수의 가족을 구성하는 것.
• 허샤오 [19] 의 방법을 영감으로 받아, 가중 동차 좌표를 통해 임베딩이 $S^1$-행동을 존중하도록 보장하는 것.
• 국소 좌표와 절단 함수를 사용하여 커널 감쇠를 분석하고 점근적 영역에서의 모순를 피하는 것.
• 스바르츠 부등식과 $f_m(t)$ 를 통한 모순 추론을 이용하여 비대칭 구성에서 비자명한 커널 행동을 배제하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전이 $S^1$-행동을 갖는 슈바르츠-지오의 다성분에서 양의 푸리에 성분에 대한 슈바르츠-지오 커널은 행동의 고정점 집합 근처에서도 점근 전개가 가능할 수 있는가?
• RQ2 슈바르츠-지오 커널의 점근 전개가 $\mathbb{C}^N$ 으로의 등변 CR 임베딩을 구성하는 데 가능하게 하는가?
• RQ3 이러한 임베딩에서 $\mathbb{C}^N$ 에서의 $S^1$-행동의 최소 무게를 임의로 크게 만들 수 있는가?
• RQ4 등변성을 유지하면서 CR 구조와 원형 행동을 유지하는 임베딩을 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 슈바르츠-지오 커널 $S_m$ 은 슈바르츠-지오의 다성분의 정규 부분에서 전체 점근 전개를 갖는다. 이 경우 주요 항은 국소 기하학과 역학을 반영한다.
• 정규가 아닌 부분에서도 수정된 점근 전개가 성립하지만, 정규-비정규 경계를 넘어서 주요 항이 매끄럽게 변화하지는 않는다.
• 저자들은 $S^1$-행동을 존중하는 등변 CR 임베딩 $\Phi: X \to \mathbb{C}^N$ 을 구성하며, $\Phi(e^{i\theta} \circ x) = e^{i\theta} \circ \Phi(x)$ 를 만족한다.
• 정리 1.2 에서 $m_0$ 를 충분히 크게 선택함으로써 $\mathbb{C}^N$ 에서의 $S^1$-행동의 최소 무게를 임의로 크게 만들 수 있다.
• 임베딩은 $\Phi_1, \dots, \Phi_N$ 이며, 이들은 $m_j > m_0$ 의 무게를 가지며 등변성을 보장한다.
• $f_m(t)$ 와 커널 감쇠를 통한 모순 추론을 통해 비대칭 구성에서 비자명한 커널 행동을 배제함으로써 임베딩의 유일성과 단사성을 검증한다.