[논문 리뷰] Szeg\"o kernel expansion and embedding of Sasakian manifolds

Hartmut Herrmann, Chin-Yu Hsiao외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 12.

Holomorphic and Operator Theory참고 문헌 17인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 컴팩트한 쿼asi-정규 세이카리안 다양체 위에서 양의 푸리에 계수에 대해 셰고-핵의 점근 전개를 수립한다. 이 전개를 이용하여, 이러한 다양체가 리프 벡터장을 유지하는 ℂ^N 내의 세이카리안 부분다양체로의 CR 임베딩을 갖는다는 것을 증명한다.

ABSTRACT

Let $X$ be a compact quasi-regular Sasakian manifold. In this paper, we establish the asymptotic expansion of Szeg\o kernel of positive Fourier coefficients and by using the asymptotics, we show that $X$ can be CR embedded into a Sasakian submanifold of $\mathbb C^N$ with transversal CR \emph{simple} $S^1$ action and this embedding is compatible with the respective Reeb vector fields.

연구 동기 및 목표

• 컴팩트한 쿼اسي-정규 세이카리안 다양체 위에서 양의 푸리에 계수에 대해 셰고-핵의 점근 전개를 유도하는 것.
• 이 전개가 세이카리안 구조의 전반적 기하학과 임베딩에 미치는 기하학적 영향을 조사하는 것.
• 다양체를 더 높은 차원의 세이카리안 공간으로 호환 가능한 리프 벡터장과 함께 CR 임베딩으로 확립하는 것.
• 목표 공간이 전이성 CR 단순 S^1 작용을 지닌다는 것을 보여주는 것. 이는 원래 다양체의 기하학적 구조를 유지한다.

제안 방법

• 양의 푸리에 모드에 대해 스펙트럴 이론과 점근 전개 기법을 이용한 셰고-핵 분석.
• 점근 전개를 사용하여 CR 헬름홀로픽 함수 공간 내의 절편의 성장과 분포를 제어하는 것.
• 셰고-핵의 점근적 행동과 그 사영 성질을 이용한 CR 임베딩의 구축.
• 세이카리안 구조의 쿼اسي-정규성으로 인해 전역 원환면 작용과 잘 정의된 푸리에 분해가 존재함을 보장하는 것.
• 전이성 CR 기하학을 적용하여 목표 다양체가 호환 가능한 S^1 작용을 상속함을 보장하는 것.
• 원래 다양체의 리프 벡터장이 임베딩 공간으로 등급적으로 옮겨질 때 등거리성을 보장하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 컴팩트한 쿼اسي-정규 세이카리안 다양체 위에서 양의 푸리에 계수에 대해 셰고-핵은 점근적으로 어떻게 행동하는가?
• RQ2 셰고-핵의 점근 전개를 사용하여 전역적인 CR 임베딩을 구성할 수 있는가?
• RQ3 임베딩 과정에서 원래 다양체의 리프 벡터장의 구조가 유지되는가?
• RQ4 이러한 임베딩 하에서 목표 공간은 어떤 기하학적 구조를 상속하는가?
• RQ5 목표 공간에 유도된 작용은 전이성이고 CR 단순한가?

주요 결과

• 셰고-핵은 역수 푸리에 모드의 거듭제곱으로서 완전한 점근 전개를 갖는다. 이는 양의 푸리에 계수에 대해 유효하다.
• 점근 전개를 통해 ℂ^N 내의 세이카리안 부분다양체로의 잘 정의된 CR 임베딩을 구성할 수 있다.
• 목표 다양체는 원래 세이카리안 구조와 호환되는 전이성 CR 단순 S^1 작용을 상속한다.
• 원래 다양체의 리프 벡터장은 정확히 임베딩된 부분다양체의 리프 벡터장과 대응된다.
• 임베딩은 유도된 CR 구조에 대해 등거리이며, 전이성 헬름홀로픽 성질을 유지한다.