[논문 리뷰] T-duality in rational homotopy theory via $L_\infty$-algebras

Domenico Fiorenza, Hisham Sati외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 03.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 27인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $L_\infty$-대수를 사용하여 유리호모토피 이론 속에서 위상적 T-duality를 엄밀하게 정식화한다. 이는 유형 IIA 및 IIB 초끈이론에서 $K^0$과 $K^1$ 코호몰로지 계열 간의 이중성이 비틀린 코호몰로지 이론 간의 푸리에-무카이 변환과 대응됨을 보여준다. 주요 기여는 T-duality의 완전한 $L_\infty$-대수적 기술이며, 초미ン코프스키 시공간 위에서 비틀린 코호몰로지 이론 간의 명시적 동형사상이 제시된다.

ABSTRACT

We combine Sullivan models from rational homotopy theory with Stasheff's $L_\infty$-algebras to describe a duality in string theory. Namely, what in string theory is known as topological T-duality between $K^0$-cocycles in type IIA string theory and $K^1$-cocycles in type IIB string theory, or as Hori's formula, can be recognized as a Fourier-Mukai transform between twisted cohomologies when looked through the lenses of rational homotopy theory. We show this as an example of topological T-duality in rational homotopy theory, which in turn can be completely formulated in terms of morphisms of $L_\infty$-algebras.

연구 동기 및 목표

• 유리호모토피 이론에서 $L_\infty$-대수를 사용하여 위상적 T-duality를 정식화하기.
• 유형 IIA의 $K^0$-코호몰로지 계열과 유형 IIB의 $K^1$-코호몰로지 계열 간의 관계를 유리호모토피 이론을 통해 명확히 하기.
• Hori의 공식과 RR-장에 대한 Buscher 규칙이 이 틀 안에서 푸리에-무카이 변환으로 유도됨을 보여주기.
• 초미인코프스키 시공간 $\mathbb{R}^{8,1|\mathbf{16}+\mathbf{16}}$에서 분류 대수 $b\mathfrak{tfold}$로 향하는 명시적 $L_\infty$-모르피즘을 구성하여 T-duality의 구조를 캐릭터라이즈하기.
• $\mu_{F1}^{\mathrm{IIA}}$-비틀린 코호몰로지와 $\mu_{F1}^{\mathrm{IIB}}$-비틀린 코호몰로지 간의 동형사상을 푸리에-무카이 변환을 통해 실현하여 Hori의 공식을 대수적으로 표현하기.

제안 방법

• 논문은 반자유 DGAs인 Sullivan 모델을 사용하여 유리호모토피 유형을 표현하며, 이들의 체바레프-에일렌베르크 대수는 $L_\infty$-대수와 대응된다.
• 코호몰로지의 비틀림은 $L_\infty$-대수의 확장을 통해 기술되며, $c_2^{\mathrm{IIA}}$ 및 $c_2^{\mathrm{IIB}}$와 같은 코호몰로지 계열은 초미인코프스키 대수의 중심 확장을 정의한다.
• 초미인코프스키 시공간 $\mathbb{R}^{8,1|\mathbf{16}+\mathbf{16}}$에서 $b\mathfrak{tfold}$로 향하는 $L_\infty$-모르피즘의 구축은 삼중항 $(c_2^{\mathrm{IIA}}, c_2^{\mathrm{IIB}}, \mu_{F1}^{8,1})$에 기반하며, 이는 $d\mu_{F1}^{8,1} = c_2^{\mathrm{IIA}} c_2^{\mathrm{IIB}}$를 만족한다.
• 푸리에-무카이 동형사상은 비틀린 코호몰로지 링 $H_{L_\infty;\mu_{F1}^{\mathrm{IIA}}}^\bullet(\mathbb{R}^{9,1|\mathbf{16}+\overline{\mathbf{16}}};\mathbb{R})[[u^{-1},u]]$와 $H_{L_\infty;\mu_{F1}^{\mathrm{IIB}}}^{\bullet-1}(\mathbb{R}^{9,1|\mathbf{16}+\mathbf{16}};\mathbb{R})[[u^{-1},u]]$ 사이의 준동형사상으로 실현된다.
• 논문은 $X$ 위에서 $Y$-값 코호몰로지 계열을 DGCA 사상 $\mathrm{CE}(\mathfrak{l}Y) \to \Omega^\bullet(X)$로 일반화하여, 매끄러운 사상의 $L_\infty$-대수 사상으로 확장한다.
• 관계 $\Gamma_9^{\mathrm{IIB}} = i\Gamma_9^{\mathrm{IIA}}\Gamma_{10}$을 사용하여 $\mu_{F1}^{\mathrm{IIA}}$ 및 $\mu_{F1}^{\mathrm{IIB}}$ 코호몰로지 계열 간의 관계를 설정함으로써 이중성 전반에 걸쳐 일관성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초끈이론에서 위상적 T-duality는 어떻게 유리호모토피 이론과 $L_\infty$-대수를 사용하여 정식화될 수 있는가?
• RQ2 유형 IIA의 $K^0$-코호몰로지 계열과 유형 IIB의 $K^1$-코호몰로지 계열 간의 이중성에 기반하는 정확한 $L_\infty$-대수적 구조는 무엇인가?
• RQ3 RR-장의 T-duality를 기술하는 Hori의 공식은 이 대수적 틀 안에서 어떻게 푸리에-무카이 변환으로 유도되는가?
• RQ4 3-코호몰로지 계열 $\mu_{F1}^{8,1}$은 어떻게 유형 IIA 및 IIB 초미인코프스키 시공간의 $L_\infty$-대수를 연결하는가?
• RQ5 $\mu_{F1}^{\mathrm{IIA}}$-비틀린 및 $\mu_{F1}^{\mathrm{IIB}}$-비틀린 코호몰로지 링 간의 동형사상은 어떻게 대수적으로 실현되는가?

주요 결과

• 논문은 삼중항 $(c_2^{\mathrm{IIA}}, c_2^{\mathrm{IIB}}, \mu_{F1}^{8,1})$을 통해 $d\mu_{F1}^{8,1} = c_2^{\mathrm{IIA}} c_2^{\mathrm{IIB}}$를 만족하는 명시적 $L_\infty$-모르피즘 $\mathbb{R}^{8,1|\mathbf{16}+\mathbf{16}} \to b\mathfrak{tfold}$를 구성하여 T-duality의 구조를 캐릭터라이즈한다.
• $\mu_{F1}^{\mathrm{IIA}}$-비틀린 코호몰로지 $\mathbb{R}^{9,1|\mathbf{16}+\overline{\mathbf{16}}}$는 푸리에-무카이 변환을 통해 $\mu_{F1}^{\mathrm{IIB}}$-비틀린 코호몰로지 $\mathbb{R}^{9,1|\mathbf{16}+\mathbf{16}}$와 동형이며, 이는 Hori의 공식을 대수적으로 실현한다.
• $\mathbb{R}^{9,1|\mathbf{16}+\overline{\mathbf{16}}}$는 $c_2^{\mathrm{IIA}}$에 의한 $\mathbb{R}^{8,1|\mathbf{16}+\mathbf{16}}$의 중심 확장이며, $\mathbb{R}^{9,1|\mathbf{16}+\mathbf{16}}$는 $c_2^{\mathrm{IIB}}$에 의한 확장이므로 대수적 구조상 이중성이 명백해진다.
• $\mu_{F1}^{\mathrm{IIB}}$의 명시적 표현은 $\mu_{F1}^{8,1} - \overline{\psi}\Gamma_9^{\mathrm{IIA}}\psi e^9_B = -i\sum_{a=0}^8 \overline{\psi}\Gamma_a\Gamma_{10}\psi e^a - i\overline{\psi}\Gamma_9^{\mathrm{IIB}}\psi e^9_B$이며, 이는 RR-장의 행동에서 이중성의 확인을 제공한다.
• 동형사상 $\Phi_{e^9_A e^9_B}$는 $\mu_{F1}^{\mathrm{IIA}}$-비틀린 코호몰로지 계열을 $\mu_{F1}^{\mathrm{IIB}}$-비틀린 코호몰로지 계열로 매핑하여 Buscher 규칙의 완전한 대수적 실현을 제공한다.
• 구성은 T-duality 동형사상이 $L_\infty$-대수의 모피즘에 의해 유도되며, 비틀림이 스핀어물의 이중성 $\overline{\psi}\Gamma_9^{\mathrm{IIA}}\psi$ 및 $\overline{\psi}\Gamma_9^{\mathrm{IIB}}\psi$에 의해 연결됨을 보여준다.