[논문 리뷰] $T{\overline T}$, $\widetilde JJ$, $JT$ and $\widetilde JT$ deformations

Sergey Frolov|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 28.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 21인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 $T\overline{T}$ 변형의 빛의 원추 게이지 접근법을 U(1) 전류 $J^\alpha$, $\widetilde{J}^\alpha$ 및 스트레스-에너지 텐서 $T^\alpha{}_{\beta}$를 포함하는 10개의 매개변수를 가진 변형으로 일반화하며, 해밀토니안 밀도와 에너지에 대한 정확한 유동 방정식을 유도한다. 적절한 매개변수 선택을 통해 $T\overline{T}$ 변형은 $J\Theta$ 및 $\widetilde{J}\overline{\Theta}$ 관계를 더 이상 필요로 하지 않게 하여 새로운 일반화된 제약 조건을 도출하고, 헬로그래픽 및 분할 함수 계산과 일관된, 탈변형 CFT에 의해 완전히 결정된 스펙트럼을 제공한다.

ABSTRACT

The light-cone gauge approach to $T{\overline T}$ deformed models is generalised to models deformed by U(1) conserved currents $J^α$, $\widetilde J^α$, stress-energy tensor $T^α_β$, and their various quadratic combinations of the form $ε_{αβ} K_1^αK_2^β$. It is then applied to derive a ten-parameter deformed Hamiltonian for a system of scalars with an arbitrary potential, the flow equations for the Hamiltonian density, and the flow equations for the energy of the deformed model. The flow equations disagree with the ones recently proposed in arXiv:1903.07606. The results obtained are applied to analyse a CFT with left- and right-moving conserved currents deformed by these operators. It is shown that with a proper choice of the parameter of the $T{\overline T}$ deformation the deformed CFT Hamiltonian density is independent of the parameters of the $JΘ$ and $\bar J\overline Θ$ deformations. This leads to the existence of two extra relations which generalise the $JΘ=0$ and $\bar J\overline Θ=0$ relations of the undeformed CFT. The spectrum of the deformed CFT is found and shown to satisfy the flow equations.

연구 동기 및 목표

• 빛의 원추 게이지 방법을 사용한 $T\overline{T}$ 변형을 보존 전류 $J^\alpha$, $\widetilde{J}^\alpha$, 및 $T^\alpha{}_{\beta}$의 임의의 이차 조합으로 확장한다.
• 임의의 잠재력이 있는 스칼라 시스템에서 변형된 해밀토니안 밀도와 에너지에 대한 정확한 유동 방정식을 유도한다.
• arXiv:1903.07606에서 제안된 이전의 유동 방정식과의 괴리점을 해결하기 위해 일관되고 매개변수에 의존하는 유동 방정식을 유도한다.
• 빛-왼쪽 및 오른쪽 이동 전류가 $T\overline{T}$, $JT$, $\widetilde{J}T$, 및 $\widetilde{J}J$에 의해 변형된 CFT의 스펙트럼을 분석하여, 이 스펙트럼이 탈변형 이론에 의해 완전히 결정됨을 보여준다.
• 탈변형 CFT의 $J\Theta=0$ 및 $\widetilde{J}\overline{\Theta}=0$ 관계를 일반화하는 새로운 일반화된 제약 조건을 수립한다.

제안 방법

• 보조 비역학적 장 $V^a_\alpha$, $\widetilde{X}_a$, $\mathcal{U}_{a\alpha}$, 및 $\Upsilon^a$를 포함하는 10매개변수 캐논ical 변환을 도입하며, 이는 보존 전류 $J_a^\alpha$ 및 $\widetilde{J}^{a\alpha}$와 관련된다.
• 빛의 원추 게이지 고정 해밀토니안 체계를 적용하여, 변형 매개변수를 빛의 원추 게이지 매개변수로 식별함으로써 변형된 해밀토니안 $\mathcal{H}_\alpha$를 유도한다.
• 비비드성 없는 버거스 방정식의 동차 해를 구함으로써 해밀토니안 밀도와 에너지에 대한 유동 방정식을 유도한다. 이 방정식은 비임계 끈 이론의 게이지 불변성 조건에서 유도된다.
• 전류 및 그 이차 조합을 $\mathcal{H}_A$의 유리 함수로 표현하기 위해 정의 방정식 $\mathcal{G}_2 \mathcal{H}_A^2 - \mathcal{G}_1 \mathcal{H}_A + \mathcal{G}_0 = 0$를 사용하여, 체계적인 유동 방정식 유도를 가능하게 한다.
• 기본 방정식을 사용한 축소 후 다항식 표현이 0이 되는지 확인하여 유동 방정식의 타당성을 검증한다. 이 과정에서 마이크로소프트의 수식 계산 소프트웨어를 사용한다.
• 대상 공간 계량의 성분을 분석하고 변형 매개변수에 대한 일관성을 확보함으로써, 유동 방정식의 계수 $c_{ij}$를 고정한다. 이 경우 유일한 해가 존재한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 빛의 원추 게이지 접근법을 사용한 $T\overline{T}$ 변형을 U(1) 전류와 스트레스-에너지 텐서의 임의의 이차 조합으로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 최근 arXiv:1903.07606에서 제안된 것과 비교하여, 유도된 변형된 해밀토니안 밀도 및 에너지에 대한 유동 방정식이 일치하는가, 아니면 모순이 드러나는가?
• RQ3 빛-왼쪽 및 오른쪽 이동 전류가 $T\overline{T}$, $JT$, $\widetilde{J}T$, 및 $\widetilde{J}J$ 연산자에 의해 변형된 CFT의 스펙트럼이 탈변형 스펙트럼에 의해 완전히 결정될 수 있는가?
• RQ4 탈변형 CFT의 $J\Theta=0$ 및 $\widetilde{J}\overline{\Theta}=0$ 관계를 일반화하는 새로운 일반화된 제약 조건은 무엇인가?
• RQ5 만일 $T\overline{T}$ 매개변수가 적절히 조정되면 변형된 해밀토니안 밀도가 일부 변형 매개변수에 대해 독립적이게 되는가? 이는 스펙트럼에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 유도된 해밀토니안 밀도 및 에너지에 대한 유동 방정식은 arXiv:1903.07606에서 제안된 것과 다름을 보이며, 이는 이전 수식의 오류를 시사한다.
• 적절한 $T\overline{T}$ 변형 매개변수 선택을 통해 변형된 CFT 해밀토니안 밀도는 $J\Theta$ 및 $\widetilde{J}\overline{\Theta}$ 변형 매개변수에 영향을 받지 않게 되며, 이는 새로운 일반화된 제약 조건을 이끈다.
• 변형된 CFT의 스펙트럼은 탈변형 CFT 스펙트럼에 의해 완전히 결정되며, 유도된 유동 방정식을 만족함으로써 헬로그래픽 및 분할 함수 결과와의 일관성을 확인한다.
• $JT$ 및 $\widetilde{J}T$ 변형은 [4]에서 유도된 스펙트럼 공식과 일치하며, $T\overline{T}+JT$ 변형은 [6,8]의 결과와 일치한다.
• $\bar{J}T$ 및 $JT + \bar{J}T$ 변형은 표준 $T\overline{T}$ 스펙트럼을 일반화하는 명시적 에너지 준위 공식을 제공하며, 운동량과 전하 항 간의 비트리비어한 상호작용을 보여준다.
• 기본 방정식을 사용한 수식 계산을 통한 유동 방정식 검증은 유도된 방정식의 일관성을 확인한다. 이 경우 러너-인variant인 경우 계산 속도가 상당히 빨라진다.