[논문 리뷰] Tamarkin's construction is equivariant with respect to the action of the Grothendieck-Teichmueller group

Vasily Dolgushev, Brian Paljug|arXiv (Cornell University)|2014. 02. 28.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 18인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 Drinfeld 연관자에서 다항식 대수의 다중벡터장과 Hochschild 코chains 사이의 $L_∞$ 준동형사상의 호모토피 호환류로 가는 Tamarkin의 구성이 Grothendieck-Teichmüller 군 $\mathsf{GRT}_1$ 작용에 대해 등변임을 증명한다. [22]의 결과를 사용하여, 저자는 이 맵이 소스(드린펠트 연관자)와 타겟(다중벡터장과 Hochschild 코chains 사이의 $L_\infty$-준동형사상의 호모토피 호환류)에서의 $\mathsf{GRT}_1$-작용을 유지함을 확립하며, 기존 문헌에서 주장되었지만 증명되지 않은 문단을 메운다.

ABSTRACT

Recall that Tamarkin's construction arXiv:math/9803025, arXiv:math/0003052 gives us a map from the set of Drinfeld associators to the set of homotopy classes of L-infinity quasi-isomorphisms for Hochschild cochains of a polynomial algebra. Due to results of V. Drinfeld (Algebra i Analiz 2, (1990)) and T. Willwacher arXiv:1009.1654 both the source and the target of this map are equipped with natural actions of the Grothendieck-Teichmueller group $GRT_1$. In this paper, we use the result from arXiv:1305.4699 to prove that this map from the set of Drinfeld associators to the set of homotopy classes of L-infinity quasi-isomorphisms for Hochschild cochains is $GRT_1$-equivariant.

연구 동기 및 목표

• 이전에 '쉽게 보일 수 있다'고 주장되었지만 자세한 증명이 부족했던, Tamarkin의 구성이 $\mathsf{GRT}_1$-등변임을 엄밀히 증명하는 것.
• Drinfeld 연관자 집합과 다중벡터장과 Hochschild 코chains 사이의 $L_\infty$-준동형사상의 호모토피 호환류 집합에 대한 $\mathsf{GRT}_1$-작용을 명확히 하고 형식화하는 것.
• 클래식한 일반 아핀 공간의 경우에서의 Tamarkin의 구성의 일반화로서, 그레디에이티드 아핀 공간의 설정으로 확장하는 것.
• 등변성 문장에 대한 완전하고 자가 포함된 증명을 제공하여, 전문가들 사이에서 널리 수용되기는 했지만 문헌상의 빈자리가 존재함을 메우는 것.

제안 방법

• 저자들은 [22]의 정리 4.3을 사용하여, $\infty$-사상과 호모토피 호환류 수준에서의 작용을 분석함으로써, Tamarkin의 맵의 $\mathsf{GRT}_1$-등변성을 확립한다.
• 소스에 대한 $\mathsf{GRT}_1$-작용은 Drinfeld 연관자 위에서의 단순 전이적 작용을 통해 정의하고, 타겟에 대한 작용은 Willwacher의 $\pi_0(\mathsf{Ger}_\infty \to \mathsf{Braces})$ 위의 작용을 통해 정의한다.
• 증명은 $\mathsf{Cyl}(\Lambda^2\mathsf{coCom})$ 작용자와 그 dg 리 대수의 유도자에서의 저차수 유도자의 영성에 기반한다.
• 저자들은 Tamarkin의 구성과 작은 원판 작용자에 대한 형식성에 기반하여, Drinfeld 연관자에서 호모토피 호환류의 $L_\infty$-준동형사상으로 가는 맵 $\mathfrak{B}$를 구성한다.
• 중간 맵의 등변성과 알려진 작용을 조합하여, Drinfeld 연관자에서 $\pi_0(\mathrm{Hom}(V_A, C^\bullet(A)))$로 가는 결과 맵이 $\mathsf{GRT}_1$-등변임을 검증한다.
• 기술적 도구로는 필터링된 $\Lambda^{-1}\mathsf{Lie}_\infty$-대수와 컨볼루션 대수를 사용하여, Maurer-Cartan 원소와 호모토피를 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Drinfeld 연관자를 Hochschild 코chains의 $L_\infty$-준동형사상으로 보내는 Tamarkin의 구성은 $\mathsf{GRT}_1$의 작용에 대해 등변인가?
• RQ2 Tamarkin의 구성 하에서 소스(드린펠트 연관자)와 타겟(다중벡터장과 Hochschild 코스체인 사이의 $L_\infty$-준동형사상의 호모토피 호환류)에서의 $\mathsf{GRT}_1$-작용은 어떻게 상호작용하는가?
• RQ3 ∞-사상의 프레임워크와 $\mathsf{Cyl}(\Lambda^2\mathsf{coCom})$ 작용자를 사용하여, Tamarkin의 구성의 등변성이 엄밀히 증명될 수 있는가?
• RQ4 작은 원판 작용자의 형식성, Tamarkin의 구성, 그리고 Hochschild 코스체인에 대한 $\mathsf{GRT}_1$-작용 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ5 Tamarkin의 맵의 타겟에서의 $\mathsf{GRT}_1$-작용은 주어진 연관자에 의해 유도된 준동형사상의 호모토피 호환류를 유지하는가?

주요 결과

• 다중벡터장과 Hochschild 코스체인 사이의 $L_\infty$-준동형사상으로의 호모토피 호환류로의 맵 $\mathfrak{T}$ 는 $\mathsf{GRT}_1$-등변이다.
• 타겟 공간 $\pi_0(\mathrm{Hom}(V_A, C^\bullet(A)))$ 위의 $\mathsf{GRT}_1$-작용은 Willwacher의 구성에 의해 유도되며, Tamarkin의 맵와 호환된다.
• 소스인 Drinfeld 연관자 집합 위의 $\mathsf{GRT}_1$-작용은 단순 전이적이고, 이 작용은 Tamarkin의 구성에 의해 타겟으로 일致하게 올라간다.
• 핵심 기술적 입력은 [22]의 정리 4.3이며, 이는 $\mathsf{GRT}_1$-작용이 $\infty$-사상 수준에서 잘 정의되고 준동형사상의 호모토피 유형과 호환됨을 보장한다.
• 저자들은 $\mathrm{Der}'(\mathrm{Cyl}(\Lambda^2\mathsf{coCom}))$의 dg 리 대수에서 0 이하의 차수에 비영원소가 존재하지 않음을 증명하며, 이는 등변성 증명에 필수적이다.
• 마지막으로, Drinfeld 연관자에서 $\pi_0(\mathrm{Hom}(V_A, C^\bullet(A)))$로 가는 맵 $\mathfrak{B}$가 $\mathsf{GRT}_1$-등변임을 보여주며, 이는 오랫동안 문헌에서 예상되었던 바를 확인한다.