[논문 리뷰] Tameness of Riemannian locally symmetric spaces arising from Anosov representations

Olivier Guichard, Fanny Kassel외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 19.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 13인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 아노소프 표현에서 유래하는 리만ian 국소 대칭 공간에 대해 일반화되고 최대화된 사타케 컴팩티피케이션을 이용하여 컴팩티피케이션을 구축한다. 이러한 공간들이 경계를 가진 컴팩트 다성분의 내부와 위상적으로 동형임을 보여, 몫이 사타케 유형의 컴팩티피케이션을 기반으로 한 '모서리가 있는 오비포드' 컴팩티피케이션을 갖는다는 것을 증명함으로써 위상적으로 안정적임을 입증한다.

ABSTRACT

We construct compactifications of Riemannian locally symmetric spaces arising as quotients by Anosov representations. These compactifications are modeled on generalized Satake compactifications and, in certain cases, on maximal Satake compactifications. We deduce that these Riemannian locally symmetric spaces are topologically tame, i.e. homeomorphic to the interior of a compact manifold with boundary. We also construct domains of discontinuity (not necessarily with a compact quotient) in a much more general setting.

연구 동기 및 목표

• 비격자, 조약-밀도 부분군에서 유래하는 무한 체적을 가진 리만ian 국소 대칭 공간에 대한 컴팩티피케이션 이론의 부족을 해결하기 위해.
• 이전에 실수 랭크 1 또는 기하학적으로 유한한 군에 국한되어 있던 알려진 컴팩티피케이션 기법을 고랭크 대칭 공간과 아노소프 표현으로 확장하기 위해.
• 이러한 몰입이 위상적으로 안정적임을 입증하기 위해, 즉 경계를 가진 컴팩트 다성분의 내부와 위상동형임을 입증하기 위해.
• 프로젝티브 표현을 이용하여 사타케 컴팩티피케이션을 일반화하고, 함의성 성질을 갖는 일반화된 사타케 컴팩티피케이션을 정의하기 위해.
• 콤팩트 몰입 이외의 더 넓은 설정에서 이완 영역을 구축하기 위해.

제안 방법

• G → SL(n,C)의 프로젝티브 표현 τ: G → SL(n,C)에서 τ(K) ⊂ PSU(n)를 만족시키는 경우, X = G/K를 gK ↦ R(τ(g)τ(g)*)를 통해 복소 프로젝티브 공간에 임bedding함으로써 일반화된 사타케 컴팩티피케이션을 정의한다.
• 이러한 이미지의 폐포를 복소 프로젝티브 공간에서 취하여 일반화된 사타케 컴팩티피케이션으로 삼으며, 이는 전체 지오데식 부분공간과의 호환성을 보장한다.
• X의 일반화된 사타케 컴팩티피케이션에서 '나쁜 집합' N을 제거하여 ρ(Γ)\X의 컴팩티피케이션을 구성함으로써, G-등변성과 오비포드 구조를 유지한다.
• 일반화된 사타케 컴팩티피케이션이 최대 사타케 컴팩티피케이션을 지배한다면, 이는 모서리가 있는 다성분임을 증명함으로써 오비포드-모서리가 있는 구조를 가능하게 한다.
• 아와사와 및 카르탕 분해를 적용하여 국소 미분동형 성질을 보이고, 컴팩티피케이션 사상의 국소 단사성과 전사성을 확립한다.
• 일반화된 사타케 컴팩티피케이션의 함의성: X의 전체 지오데식 부분대칭 공간 Y ⊂ X의 폐포는 이러한 컴팩티피케이션에서 Y의 일반화된 사타케 컴팩티피케이션임.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ρ가 아노소프 표현이고 몰입이 무한 체적을 가질 경우, ρ(Γ)\X인 리만ian 국소 대칭 공간에 대해 컴팩티피케이션을 구성할 수 있는가?
• RQ2 이러한 컴팩티피케이션은 위상적 안정성—즉, 몰입이 경계를 가진 컴팩트 다성분의 내부와 위상동형인가—을 제공하는가?
• RQ3 컴팩티피케이션은 X의 최대 사타케 컴팩티피케이션을 기반으로 모델링될 수 있으며, 이는 파라보릭 부분군 P에 어떤 조건이 필요한가?
• RQ4 일반화된 사타케 컴팩티피케이션의 구성은 전체 지오데식 부분공간에 대한 제한에서 함의성을 유지하는가?
• RQ5 '나쁜 집합' N의 역할은 무엇이며, 그 제거가 몰입의 잘 정의된 컴팩티피케이션을 어떻게 유도하는가?

주요 결과

• 몰입 공간 ρ(Γ)\X는 국소적으로 X의 일반화된 사타케 컴팩티피케이션을 기반으로 한 '모서리가 있는 오비포드' 컴팩티피케이션을 갖는다.
• 모든 P-아노소프 표현에서 P가 최대의 진부분 파라보릭 부분군일 경우, 몰입 ρ(Γ)\X는 X의 최대 사타케 컴팩티피케이션을 기반으로 한 컴팩티피케이션을 갖는다.
• 일반화된 사타케 컴팩티피케이션은 함의성 성질을 만족한다: X의 전체 지오데식 부분대칭 공간 Y ⊂ X의 폐포는 이러한 컴팩티피케이션에서 Y의 일반화된 사타케 컴팩티피케이션임.
• 일반화된 사타케 컴팩티피케이션이 최대 사타케 컴팩티피케이션을 지배한다면, 이는 모서리가 있는 다성분이며, 이는 컴팩티피케이션된 몰입의 오비포드-모서리가 있는 구조를 지원한다.
• 이 구성은 직교군과 유니터리 군에 적용되며, O(b) 또는 O(b_C)로의 표현에 대해 최소 사타케 컴팩티피케이션을 기반으로 한 컴팩티피케이션을 제공한다.
• 컴팩티피케이션은 X의 일반화된 사타케 컴팩티피케이션에서 '나쁜 집합' N을 제거하여 얻으며, 이로써 몰입이 잘 정의된 위상과 오비포드 구조를 상속한다.