[논문 리뷰] Tangent categories of algebras over operads

Yonatan Harpaz, Joost Nuiten외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 08.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 17인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비안정 모델 범주 내의 풍부화된 작도에서의 대수의 접선 범주와 작도 모듈의 범주 사이의 모형 범주적 동치를 수립하며, 이는 이전의 ∞-범주적 결과를 확장한다. 이는 안정화 기법과 풍부화된 작도의 정규화를 통해 달성되며, 퀼렌 코homology 계수의 구체적 기술과 풍부화된 범주의 코탄젠트 복합체에의 적용을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Associated to a presentable $\\infty$-category $\\mathcal{C}$ and an object $X \\in \\mathcal{C}$ is the tangent $\\infty$-category $\\mathcal{T}_X\\mathcal{C}$, consisting of parameterized spectrum objects over $X$. This gives rise to a cohomology theory, called Quillen cohomology, whose category of coefficients is $\\mathcal{T}_X\\mathcal{C}$. When $\\mathcal{C}$ consists of algebras over a nice $\\infty$-operad in a stable $\\infty$-category, $\\mathcal{T}_X\\mathcal{C}$ is equivalent to the $\\infty$-category of operadic modules, by work of Basterra--Mandell, Schwede and Lurie. In this paper we develop the model-categorical counterpart of this identification and extend it to the case of algebras over an enriched operad, taking values in a model category which is not necessarily stable. This extended comparison can be used, for example, to identify the cotangent complex of enriched categories, an application we take up in a subsequent paper.

연구 동기 및 목표

• 풍부화된 작도에 대한 대수의 ∞-범주적 접선 ∞-범주와 작도 모듈 간의 동치를 ∞-범주적 수준에서 모형 범주적 수준으로 확장한다.
• 이 동치를 비안정 모델 범주 내의 풍부화된 작도에 대한 대수로 일반화한다.
• 접선 범주를 통한 Quillen 코homology 계수의 구체적이고 계산 가능한 기술을 제공한다.
• 풍부화된 범주의 코탄젠트 복합체를 계산하기 위한 기초를 마련한다.

제안 방법

• 모형 범주의 안정화를 사용하여, 대수 위의 매개변수 스펙트럼 대상으로 접선 범주를 구성한다.
• 작도에 대한 대수에서의 망각 함자들이 이러한 쌍대극한을 유지함을 보이기 위해 분산된 호모토피 쌍대극한 이론을 적용한다.
• Quillen과 Schiegg의 [PS18]에서 얻은 정규화 결과를 활용하여, 모형 범주 내의 작도에 대한 대수와 그 ∞-범주적 대응체를 비교한다.
• 도표 범주의 프로젝티브 모형 구조의 모노이드 구조를 이용하여 대수 내의 호모토피 쌍대극한을 분석한다.
• Σ-충실한 작도의 가정을 통해, 대수의 접선 범주와 작도 모듈의 범주 간 비교를 수립한다.
• ∞-작도의 정규화를 이용하여 ∞-모형 범주적 작도로의 확장을 통해, 풍부화된 작도에 대한 비교를 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ∞-범주적 동치인 접선 ∞-범주와 작도 모듈 간의 관계를 어떻게 모형 범주적 수준으로 승격시킬 수 있는가?
• RQ2 풍부화된 작도에 대한 대수에서의 망각 함자가 분산된 호모토피 쌍대극한을 유지하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 비안정 모델 범주 내의 대수의 접선 범주는 어떻게 작도 모듈의 관점에서 기술할 수 있는가?
• RQ4 이 모형 범주적 프레임워크를 사용하여 풍부화된 범주의 코탄젠트 복합체를 계산할 수 있는가?
• RQ5 풍부화된 ∞-작도의 정규화가 모형 범주적 접선 범주와 ∞-범주적 접선 범주 간 비교 수립에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 조합적 대칭 모노이드 모델 범주 내의 Σ-충실하고, 적절한 W-색상 작도에 대한 대수의 접선 범주는 작도 모듈의 범주와 동치이다.
• 이러한 작도에 대한 대수에서의 망각 함자는 기저 도표 범주로의 망각을 유지하며, 분산된 호모토피 쌍대극한을 유지한다.
• 작도에 대한 대수의 범주를 안정화하면 작도 모듈의 범주와 동치가 되며, 이는 이전의 ∞-범주적 결과를 모형 범주적 수준으로 일반화한다.
• 정규화를 통해 비교 결과는 풍부화된 작도로 확장되며, 이에 따라 풍부화된 대수의 접선 범주는 작도 모듈의 관점에서 기술할 수 있다.
• 이 프레임워크는 Quillen 코homology와 풍부화된 범주의 코탄젠트 복합체를 계산하기 위한 모형 범주적 기초를 제공한다.