[논문 리뷰] Teichmüller space of circle diffeomorphisms with Hölder continuous derivatives

Katsuhiko Matsuzaki|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 21.

Analytic and geometric function theory참고 문헌 38인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 단위 원판의 방향을 유지하는 미분 가능 함수들 중 $ \alpha $-Hölder 연속적인 도함수를 가지는 것들의 Teichmüller 공간 $ T_0^\beta $ 를 보편 Teichmüller 공간 내부의 복소 Banach 다양체로 정의한다. 복소 비틀림의 감쇠 속도를 통한 정밀한 특성화를 제시하고, Beltrami 미분에 대한 $ \|\cdot\|_{\infty,\alpha} $ 노름에 의해 유도되는 위상이 $ C^{1+\alpha} $-위상과 일치함을 증명함으로써, 이러한 정규 원판 미분 가능 함수의 공간에 잘 정의된 기하학적 및 해석적 구조를 확보한다.

ABSTRACT

Based on the quasiconformal theory of the universal Teichmüller space, we introduce the Teichmüller space of diffeomorphisms of the unit circle with $α$-Hölder continuous derivatives as a subspace of the universal Teichmüller space. We characterize such a diffeomorphism quantitatively in terms of the complex dilatation of its quasiconformal extension and the Schwarzian derivative given by the Bers embedding. Then, we provide a complex Banach manifold structure for it and prove that its topology coincides with the one induced by local $C^{1+α}$-topology at the base point.

연구 동기 및 목표

• 보편 Teichmüller 공간의 부분공간으로서 $ C^{1+\alpha} $-미분 가능 함수들인 $ T_0^\alpha $ 의 Teichmüller 공간을 정의하고 연구한다.
• 그러한 미분 가능 함수들을 그들의 쌍곡적 등각 확장의 복소 비틀림의 감쇠 속도를 통해 특성화한다.
• Beltrami 미분에 대한 Bers 임bedding 과 가중치가 부여된 $ L^\infty $-노름을 사용하여 $ T_0^\alpha $ 에 복소 Banach 다양체의 구조를 수립한다.
• Beltrami 미분에 대한 $ \|\cdot\|_{\infty,\alpha} $ 노름에 의해 유도되는 $ T_0^\alpha $ 의 위상이 기저 점에서의 $ C^{1+\alpha} $-위상과 일치함을 증명한다.
• 기저 점에서의 오른쪽 균일 위상, 즉 $ \operatorname{Diff}_+^{1+\alpha}(\mathbb{S}^1) $ 에서의 군 작용을 통한 정의가 보편 Teichmüller 공간으로부터의 몫 위상과 동치임을 보인다.

제안 방법

• 기본 원판 $ \mathbb{D} $ 로의 쌍곡적 등각 확장의 복소 비틀림 $ \mu $ 의 감쇠 속도 $ O((1-|z|)^\alpha) $ 를 통해 $ C^{1+\alpha} $-미분 가능 함수를 특성화한다.
• Bers 임bedding 을 사용하여 $ T_0^\alpha $ 를 $ \mathbb{D}^* $ 상의 정칙 2차 미분형식의 부분공간으로 식별하고, 가중치가 부여된 Supremum 노름을 갖춘다.
• 비틀림의 감쇠를 제어하기 위해 노름 $ \|\mu\|_{\infty,\alpha} = \sup_{z \in \mathbb{D}} (1-|z|)^\alpha |\mu(z)| $ 을 정의한다.
• Bers 사영 $ \Phi: \operatorname{Bel}_0^\alpha(\mathbb{D}) \to \beta(T) \cap B_0^\alpha(\mathbb{D}^*) $ 가 해석적 분리된 위상사상임을 증명함으로써 다양체의 구조를 보장한다.
• 정규화된 대응체 $ \gamma_n = g_n \circ g^{-1} $ 가 $ \operatorname{Diff}_+^{1+\alpha}(\mathbb{S}^1) $ 에서 수렴함을 통해 $ T_0^\alpha $ 의 몫 위상과 오른쪽 균일 위상의 동치성을 확립한다.
• 기저 점 변경 사상과 오른쪽 이동의 연속성을 이용하여 $ T_0^\alpha $ 의 위상가 군 작용에 대해 복소다양체적 변환에 대해 불변임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 원판의 미분 가능 함수 도함수의 Hölder 정규성과 그 쌍곡적 등각 확장의 복소 비틀림의 감쇠 속도 사이의 정밀한 관계는 무엇인가?
• RQ2 기저 점에서의 $ C^{1+\alpha} $-미분 가능 함수들의 Teichmüller 공간 $ T_0^\alpha $ 는 복소 Banach 다양체의 구조를 지닐 수 있는가?
• RQ3 Beltrami 미분에 대한 $ \|\cdot\|_{\infty,\alpha} $ 노름에 의해 유도되는 $ T_0^\alpha $ 의 위상은 미분 가능 함수 군에서의 $ C^{1+\alpha} $-위상과 어떻게 비교되는가?
• RQ4 기저 점에서의 오른쪽 균일 위상, 즉 $ \operatorname{Diff}_+^{1+\alpha}(\mathbb{S}^1) $ 의 군 구조에 의해 유도되는 $ T_0^\alpha $ 의 위상은 보편 Teichmüller 공간으로부터의 몫 위상과 동치인가?
• RQ5 Kobayashi 거리 함수가 $ T_0^\alpha $ 에서 정의된 것은 보편 Teichmüller 공간의 Teichmüller 거리 함수의 제한과 일치하는가?

주요 결과

• 원판의 미분 가능 함수 $ g \in \operatorname{QS} $ 가 $ \alpha $-Hölder 연속적인 도함수를 가지는 것은 그 쌍곡적 등각 확장이 복소 비틀림 $ \mu $ 를 가지며 $ \|\mu\|_{\infty,\alpha} < \infty $ 를 만족함과 동치이며, 즉 $ |z| \to 1 $ 일 때 $ \mu(z) = O((1-|z|)^\alpha) $ 를 만족한다.
• Teichmüller 공간 $ T_0^\alpha $ 는 $ \mathbb{D}^* $ 상의 정칙 2차 미분형식 공간에 대한 Bers 임bedding 과 함께 가중치가 부여된 $ \|\cdot\|_{\infty,\alpha} $ 노름을 사용하여 복소 Banach 다양체의 구조를 지닌다.
• $ \operatorname{Bel}_0^\alpha(\mathbb{D}) $ 에서의 $ \|\cdot\|_{\infty,\alpha} $ 노름에 의해 유도되는 $ T_0^\alpha $ 의 위상은 $ \operatorname{Diff}_+^{1+\alpha}(\mathbb{S}^1) $ 에서의 $ C^{1+\alpha} $-위상과 일치한다.
• 기본 원판에서 오른쪽 이동을 통한 정의된 $ T_0^\alpha $ 의 오른쪽 균일 위상은 $ \operatorname{Bel}_0^\alpha(\mathbb{D}) $ 로부터의 몫 위상과 동치이다.
• Kobayashi 거리 함수는 $ T_0^\alpha $ 에서 보편 Teichmüller 공간 $ T $ 의 Teichmüller 거리 함수의 제한과 일치하며, 이는 국소 거리 함수의 호환성을 보여준다.
• $ (T_0^\alpha, \ast) $ 는 식별된 위상에서 위상군을 이루며, 복소다양체적 오른쪽 이동과 기저 점 변경 사상이 모두 이sovolumetric하다.