[논문 리뷰] Terraces for Small Groups

M. A. Ollis|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 04.

Advanced Mathematical Theories and Applications참고 문헌 11인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 GAP에서 히우리스틱 및 백트래킹 알고리즘을 사용하여 순서 511 이하의 작은 군에서 테라스와 시퀀싱을 조사한다. 256 및 384를 제외한 순서 511 이하에서 Bailey의 추측(비순환 초등 아벨 2군 이외의 모든 비테라스 군은 비순환 초등 아벨 2군뿐이다)을 확인하였고, 순서 255 이하 및 A₆, S₆, 그리고 작은 q에 대해 PSL(2,q) 및 PGL(2,q)의 특정 군들에 대해 Keedwell의 추측(순서 ≥10인 모든 비아벨 군은 시퀀스블러블하다)을 검증하였다. 또한 순서 21인 비순환 홀수차 군에 대해 처음으로 방향성 T₂-테라스를 구성하였고, 순서 27 및 39인 비아벨 군에 대해 나로스티크 테라스와 하프-앤드-하프 테라스를 구성하였으며, 순서 ≤15인 모든 군에 대해 본질적으로 다른 테라스 및 방향성 테라스의 총수를 체계적으로 세었다.

ABSTRACT

We use heuristic algorithms to find terraces for small groups. We show that Bailey's Conjecture (that all groups other than the non-cyclic elementary abelian 2-groups are terraced) holds up to order 511, except possibly at orders 256 and 384. We also show that Keedwell's Conjecture (that all non-abelian groups of order at least 10 are sequenceable) holds up to order 255, and for the groups $A_6$, $S_6$, $PSL(2,q_1)$ and $PGL(2, q_2)$ where $q_1$ and $q_2$ are prime powers with $3 \leq q_1 \leq 11$ and $3 \leq q_2 \leq 8$. A sequencing for a group of a given order implies the existence of a complete latin square at that order. We show that there is a sequenceable group for each odd order up to 555 at which there is a non-abelian group. This gives 31 new orders at which complete latin squares are now known to exist, the smallest of which is 63. In addition, we consider terraces with some special properties, including constructing a directed $T_2$-terrace for the non-abelian group of order 21 and hence a Roman-2 square of order 21 (the first known such square of odd order). Finally we report the total number terraces and directed terraces for groups of order at most 15.

연구 동기 및 목표

• 순서 511 이하에서 비순환 초등 아벨 2군 이외의 군이 테라스를 갖지 않는다는 Bailey의 추측을 검증한다.
• 순서 255 이하 및 특정 군의 가닥들(예: PSL(2,q) 및 PGL(2,q))에 대해 순서 10 이상의 모든 비아벨 군이 시퀀스블러블하다는 Keedwell의 추측을 검증한다.
• 소수의 홀수 및 짝수 차수의 비아벨 군에 대해 방향성 T₂-테라스, 하프-앤드-하프 테라스, 나로스티크 테라스와 같은 특수 테라스를 구성한다.
• 순서 15 이하의 모든 군에 대해 본질적으로 다른 테라스 및 방향성 테라스의 총수를 계산한다.
• 새로운 홀수 차수, 예를 들어 63에서 완전한 라틴 제곱의 존재를 뒷받침하는 계산적 증거와 구성 방법을 제공한다.

제안 방법

• GAP에서 히우리스틱 오르막 내림 알고리즘을 사용하여 소수의 군에서 방향성 테라스 및 시퀀싱을 탐색한다.
• 백트래킹 알고리즘을 사용하여 T₂-테라스, 하프-앤드-하프 테라스, 나로스티크 테라스와 같은 특수 테라스를 구성한다.
• 군 이론적 변환, 특히 등가성 검증을 위한 기본 형태로 정규화하기 위해 좌측 곱셈을 구현한다.
• 정규화 이후 군의 자기동형사상 테스트를 통해 '본질적으로 다른 테라스' 개념을 적용한다.
• 기존의 값과 비교하여 결과를 검증하고, 예를 들어 t(ℤ₅) 및 t(ℤ₃²)에서 이전 문헌의 오류를 수정한다.
• 재현 가능성과 향후 연구를 위해 공개 웹사이트에서 코드와 데이터를 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Bailey의 추측—비순환 초등 아벨 2군 이외의 군은 테라스를 갖지 않는다는 것—이 순서 511 이하의 모든 군에 대해 성립하는가?
• RQ2 Keedwell의 추측—순서 10 이상의 모든 비아벨 군은 시퀀스블러블하다—는 순서 255 이하 및 A₆, S₆, PSL(2,q₁) (3≤q₁≤11), PGL(2,q₂) (3≤q₂≤8)의 특정 가닥들에 대해 성립하는가?
• RQ3 비순환 홀수차 군에 대해 방향성 T₂-테라스를 구성할 수 있는가? 만약 가능하면 첫 번째 예시는 무엇인가?
• RQ4 홀수차 비아벨 군은 나로스티크 또는 하프-앤드-하프 테라스를 갖는가? 이러한 테라스를 이용해 무한한 가닥을 생성할 수 있는가?
• RQ5 순서 15 이하의 모든 군에 대해 본질적으로 다른 테라스 및 방향성 테라스의 정확한 수는 얼마인가?

주요 결과

• Bailey의 추측은 순서 511 이하에서 성립하며, 유일한 가능 예외는 순서 256 및 384 뿐이다.
• Keedwell의 추측은 순서 255 이하 및 A₆, S₆, PSL(2,q₁) (3≤q₁≤11), PGL(2,q₂) (3≤q₂≤8)에서 검증되었다.
• 비순환 홀수차 군(순서 21)에 대해 처음으로 방향성 T₂-테라스를 구성하였고, 이는 홀수차에서 처음으로 알려진 로마-2 제곱을 제공한다.
• 순서 27인 비아벨 군 두 개 모두에서 나로스티크 테라스 및 방향성 하프-앤드-하프 테라스를 확보하였고, G₃₉,₁는 방향성 하프-앤드-하프 테라스를 갖는다.
• 논문은 완전한 라틴 제곱이 이제 알려진 새로운 순서 31개를 보고하였으며, 그 중 가장 작은 순서는 63이다.
• 체계적인 세기 결과를 통해 순서 ≤15인 모든 군에 대해 본질적으로 다른 테라스 및 방향성 테라스의 수를 확인하였고, 이는 이전 문헌의 오류를 수정하였다.