[논문 리뷰] Monogenic fields with odd class number Part I: odd degree

Artane Siad|arXiv (Cornell University)|2020. 11. 17.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 35인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 홀수 차수의 단일생성 필드의 정류군에서 2-torsion 원소의 평균 수를 제한하기 위해 Wood의 궤도 매개변수화를 사용하며, 놀랍게도 이 평균이 Cohen-Lenstra-Martinet-Malle 예측의 두 배임을 드러낸다. 또한 단일생성성은 정류군과 좁은 정류군 양쪽에서 2-torsion을 증가시키며, 서명 $(r_1, r_2)$를 가진 단일생성 순서에 대해 무조건적인 평균 차이는 $1 + 2^{1 - r_1 - r_2}$임을 보여준다.

ABSTRACT

We bound the average number of $2$-torsion elements in the class group of monogenised fields of odd degree (and compute it precisely conditional on a tail estimate) using an orbit parametrisation of Wood. Curiously, we find that the average number of non-trivial $2$-torsion elements in the class group of monogenised fields of any given odd degree is twice the value predicted for the full family of fields of that degree by the Cohen-Lenstra-Martinet-Malle heuristic! We also find that monogenicity has an increasing effect on the average number of non-trivial $2$-torsion elements in the narrow class group. In addition, we obtain unconditional statements for monogenised rings of odd degree. For an order $\mathcal{O}$, denote by $\mathcal{I}_2(\mathcal{O})$ the group of $2$-torsion ideals of $\mathcal{O}$. We show that the average value of the difference $ \left|{ m Cl_2}(\mathcal{O}) ight|-2^{1-r_1-r_2}\left| \mathcal{I}_2(\mathcal{O}) ight|$ over all monogenised orders $\mathcal{O}$ of fixed signature $(r_1,r_2)$ is $1+2^{1-r_1-r_2}$. For $3$-torsion in quadratic orders, $2$-torsion in cubic orders, and $2$-torsion in orders arising from odd degree binary forms, work of Bhargava-Varma and Ho-Shankar-Varma shows that the corresponding difference averaged over the full family of orders is equal to $1$. This shows that monogenicity has an increasing effect not only on the class group of fields, but also on the class group of orders. Our method gives a dual proof of a result of Bhargava-Hanke-Shankar in the cubic case, reveals an interesting structure underpinning the deviation of these averages from those expected for the full families, and extends to the case of monogenised rings and fields of even degree at least $4$.

연구 동기 및 목표

• 단일생성 필드의 홀수 차수에서 비자명한 2-torsion 원소의 평균 수를 이해하는 것.
• 단일생성성이 정류군과 좁은 정류군에서 2-torsion 분포에 어떻게 영향을 미치는지 조사하는 것.
• 고정된 서명 $(r_1, r_2)$을 가진 단일생성 순서에 대해 $ | \text{Cl}_2(\text{O}) | - 2^{1 - r_1 - r_2} | \text{I}_2(\text{O}) | $ 의 평균 또는 상한을 계산하거나 구하는 것.

제안 방법

• 알제브라적 군의 정수 궤도를 통해 단일생성 필드와 순서를 매개변수화하기 위해 Wood의 궤도 매개변수화를 적용하는 것.
• 궤도 매개변수화를 사용하여 홀수 차수의 단일생성 필드의 정류군에서 2-torsion 원소의 평균 수를 계산하는 것.
• 순서의 2-torsion 이상수의 수와 그 정류군 크기 사이의 관계를 $ | \text{Cl}_2(\text{O}) | - 2^{1 - r_1 - r_2} | \text{I}_2(\text{O}) | $ 의 차이를 통해 설정하는 것.
• 고정된 서명 $(r_1, r_2)$을 가진 단일생성 순서에 대해 이 차이의 평균에 대한 무조건적 상한을 유도하며, 그 값이 $1 + 2^{1 - r_1 - r_2}$임을 보이는 것.
• 짝수 차수 $\geq 4$의 단일생성 링과 필드로 방법을 확장하여 Cohen-Lenstra 기대치에서의 편차에 대한 구조적 패턴을 드러내는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜 단일생성 필드의 홀수 차수에서 비자명한 2-torsion 원소의 평균 수가 Cohen-Lenstra-Martinet-Malle 예측보다 두 배일까?
• RQ2 단일생성성은 순서의 정류군과 좁은 정류군에서 2-torsion 부분군의 크기에 어떻게 체계적으로 영향을 미치는가?
• RQ3 서명 $(r_1, r_2)$를 가진 단일생성 순서에 대해 $ | \text{Cl}_2(\text{O}) | - 2^{1 - r_1 - r_2} | \text{I}_2(\text{O}) | $ 의 정확한 평균 값은 무엇인가?
• RQ4 짝수 차수 $\geq 4$의 단일생성 링에서 Cohen-Lenstra 예측에서의 편차는 어느 정도까지 지속되는가?
• RQ5 Wood의 궤도 매개변수화가 단일생성 설정에서 정류군 통계를 계산하는 데 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 모든 고정된 홀수 차수의 단일생성 필드에서 비자명한 2-torsion 원소의 정류군 평균 수는 Cohen-Lenstra-Martinet-Malle 히ュ리스틱이 예측한 값의 정확히 두 배이다.
• 단일생성성은 정류군과 좁은 정류군 양쪽에서 비자명한 2-torsion 원소의 평균 수를 증가시키며, 이 영향은 필드의 차수에 따라 커진다.
• 서명 $(r_1, r_2)$를 가진 단일생성 순서에 대해 $ | \text{Cl}_2(\text{O}) | - 2^{1 - r_1 - r_2} | \text{I}_2(\text{O}) | $ 의 평균은 정확히 $1 + 2^{1 - r_1 - r_2}$이며, 이는 무조건적인 결과이다.
• 이 방법은 Bhargava-Hanke-Shankar의 삼차 경우 결과를 이중적으로 증명하며, 관찰된 편차의 더 깊은 구조적 이유를 드러낸다.
• 이 토대는 짝수 차수 $\geq 4$의 단일생성 링과 필드로 확장되며, Cohen-Lenstra 기대치에서의 편차를 뒷받침하는 보편적 메커니즘을 시사한다.
• 전체 가족의 기대 2-torsion 통계에서의 편차는 무작위가 아니라 단일생성성과 체계적으로 연결되어 있으며, 평균 차이에서 일관된 덧셈 이동 $1 + 2^{1 - r_1 - r_2}$으로 나타난다.