[논문 리뷰] Testing Consumer Rationality using Perfect Graphs and Oriented Discs

Shant Boodaghians, Adrian Vetta|arXiv (Cornell University)|2015. 07. 27.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 22인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 소비자의 선택이 합리적인지 판단하기 위해 제거해야 할 최소 데이터 포인트 수를 측정함으로써 소비자 합리성 테스트의 계산 복잡도를 규명한다. 이는 두 재화 시장에서는 완전 그래프와 완전 그래프 위의 정점 커버를 이용해 다항식 시간 내에 해결 가능하다는 것을 증명하지만, 세 재화 시장에서는 평면 3-SAT로의 환원을 통해 NP-완전이 된다는 것을 보여준다. 이는 방향성 있는 디스크 도형을 이용한 방법을 통해 이루어진다.

ABSTRACT

Given a consumer data-set, the axioms of revealed preference proffer a binary test for rational behaviour. A natural (non-binary) measure of the degree of rationality exhibited by the consumer is the minimum number of data points whose removal induces a rationalisable data-set.We study the computational complexity of the resultant consumer rationality problem in this paper. This problem is, in the worst case, equivalent (in terms of approximation) to the directed feedback vertex set problem. Our main result is to obtain an exact threshold on the number of commodities that separates easy cases and hard cases. Specifically, for two-commodity markets the consumer rationality problem is polynomial time solvable; we prove this via a reduction to the vertex cover problem on perfect graphs. For three-commodity markets, however, the problem is NP-complete; we prove thisusing a reduction from planar 3-SAT that is based upon oriented-disc drawings.

연구 동기 및 목표

• 소비자의 행동을 합리화하기 위해 제거해야 할 최소 데이터 포인트 수를 기반으로 한 소비자 합리성의 비이진 측정법을 개발하기 위해.
• 다양한 재화 수에 따라 이 합리성 테스트 문제의 계산 복잡도를 규명하기 위해.
• 문제가 다항식 시간 내에서 해결 가능에서 NP-완전으로 전이되는 정확한 임계점을 규명하기 위해.
• 노출된 선호 이론과 피드백 정점 집합 및 정점 커버와 같은 그래프 이론 문제 사이의 연결 고리를 설정하기 위해.
• 세 재화 시장에서의 NP-완전성을 증명하기 위해 방향성 있는 디스크 그래프를 이용한 새로운 환원 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 예산 제약 조건에 기반한 노출된 선호를 나타내는 간선이 있는 방향성 있는 노출된 선호 그래프로 소비자 데이터를 표현하기 위해.
• 소비자 합리성 문제를 노출된 선호 그래프에서 최소 방향성 피드백 정점 집합(DFVS)을 찾는 문제로 환원하기 위해.
• 두 재화 시장에서는 문제를 완전 그래프 위의 정점 커버 문제로 매핑하며, 완전 그래프가 정점 커버 문제를 다항식 시간 내에 해결할 수 있다는 사실을 활용하기 위해.
• 세 재화 시장에서는 평면 3-SAT 인스턴스의 방향성 있는 디스크 도형을 구성하여 문제를 디지온과 순환하지 않는 보조 간선을 가진 방향성 그래프에 통합하기 위해.
• 방향성 있는 디스크 그래프에서 모든 사이클은 반드시 디지온에 의해 유도되므로, 피드백 정점 집합이 모든 디지온을 공격하는 것은 기저 평면 그래프에서의 정점 커버에 해당한다.
• 변수와 절을 위한 기반 도구를 이용한 구성으로, 3-SAT 인스턴스를 방향성 그래프에 통합하며, 이 그래프의 사이클은 평면 이분 그래프에서의 간선 커버와 관련이 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최소한의 데이터 포인트 제거가 소비자의 행동을 합리화할 수 있을 때, 소비자 합리성 문제의 계산 복잡도는 무엇인가?
• RQ2 소비자 합리성 문제가 다항식 시간 내에서 해결 가능에서 NP-완전으로 전이되는 재화의 수는 얼마인가?
• RQ3 노출된 선호 그래프의 사이클 구조를 사용하여 피드백 정점 집합이나 정점 커브와 같은 알려진 NP-난해 문제로 환원할 수 있는가?
• RQ4 평면 3-SAT 인스턴스를 방향성 있는 디스크 도형을 통해 방향성 그래프로 표현할 수 있는가? 이 경우 사이클 탐지는 만족 가능성과 대응되는가?
• RQ5 완전 그래프 이론을 활용하여 저차원 시장(예: 두 재화)에서 합리성 문제를 효율적으로 해결할 수 있는가?

주요 결과

• 두 재화 시장에서는 문제를 완전 그래프 위의 정점 커버 문제로 환원할 수 있으므로 다항식 시간 내에 해결 가능하다.
• 세 재화 시장에서는 평면 3-SAT로의 환원을 통해 NP-완전임을 증명하였다. 이는 방향성 있는 디스크 그래프 구성에 의해 이루어졌다.
• 환원 과정에서 모든 사이클이 디지온에 의해 생성되며, 이 사이클을 모두 제거하는 것은 기저 평면 그래프에서의 정점 커버 문제에 해당한다.
• 방향성 있는 디스크 그래프에서의 최소 피드백 정점 집합은 평면 3-SAT 인스턴스의 관련 그래프에서의 정점 커버와 동일하다.
• 보조 간선(디지온에 속하지 않는 간선)은 순환하지 않는 부분그래프를 형성하므로, 모든 사이클을 제거하기 위해선 디지온만 공격하면 된다.
• 해결 가능과 비가능성의 임계점은 정확히 두 재화이다. 두 재화에서는 다항식 시간 내에 해결 가능하고, 세 재화에서는 NP-완전하다.