[논문 리뷰] The Alon-Tarsi number of subgraphs of a planar graph

Ringi Kim, Seog‐Jin Kim외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 04.

Graph Labeling and Dimension Problems참고 문헌 13인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 모든 평면 그래프가 G−E(F)의 Alon-Tenser 수가 최대 3이 되는 삼각형이 없는 부분 그래프 F를 포함함을 증명한다. 이는 3-선택 가능성과 3-칠수 가능성을 암시한다. 최대 차수 ≤3인 부분 그래프 또는 별삼각형 포레스트를 제거하는 것이 항상 3-선택 가능성을 유지하지는 않음을 보여주는 반례를 구성한다. 그러나 삼각형 면을 가진 평면 그래프에 대해 귀납적 방향 조작 기법을 통해 일반적인 존재 결과를 증명한다.

ABSTRACT

This paper constructs a planar graph $G_1$ such that for any subgraph $H$ of $G_1$ with maximum degree $Δ(H) \le 3$, $G_1-E(H)$ is not $3$-choosable, and a planar graph $G_2$ such that for any star forest $F$ in $G_2$, $G_2-E(F)$ contains a copy of $K_4$ and hence $G_2-E(F)$ is not $3$-colourable. On the other hand, we prove that every planar graph $G$ contains a forest $F$ such that the Alon-Tarsi number of $G - E(F)$ is at most $3$, and hence $G - E(F)$ is 3-paintable and 3-choosable.

연구 동기 및 목표

• 평면 그래프에서 특정 부분 그래프(예: 포레스트, 최대 차수 3인 부분 그래프)를 제거할 때 3-선택 가능성이 유지되는지 조사한다.
• 모든 평면 그래프가 최대 차수 ≤d인 포레스트 F를 가지며 G−E(F)의 Alon-Tarsi 수 ≤3이 되는 보편적인 상수 d가 존재하는지 확인한다.
• 평면 그래프에서 부분 그래프 제거가 리스트 색칠 성질에 미치는 구조적 제약을 해결한다.
• 모든 평면 그래프 G에 대해, G−E(F)가 Alon-Tarsi 수 분석을 통해 3-칠수 가능하고 3-선택 가능해지는 삼각형이 없는 부분 그래프 F가 존재함을 증명한다.

제안 방법

• 모든 내부 면이 삼각형인 평면 그래프의 간선 수에 대한 귀납법을 사용한다.
• 경계 사이클을 공유하는 부분 그래프 G₁과 G₂′로 평면 그래프를 재귀적으로 분해하며, 간선 제거가 구조적 성질을 유지한다.
• 서브그래프에서 유도된 방향 D₁과 D₂를 조합하여 G−E(F)의 '좋은 방향' D를 구성하며, |EE(D)| ≠ |OE(D)|임을 보장한다.
• 그래프 다항식 계수 분석을 통한 Alon-Tarsi 정리 적용: AT(G) ≤ 3이면 각 정점에 대해 비영인 계수를 가지며 차수 <3인 단항식이 존재한다.
• '좋은 방향'을 짝수와 홀수 올림피아 하위그래프의 수의 차이가 0이 아닌 방향으로 정의하며, 이는 다항식 계수의 소멸을 방지한다.
• 간선 압축과 정점 제거(G′ = G−z)를 통해 복잡도를 감소시키며, 필요한 방향성과 포레스트 포함 성질을 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 평면 그래프 G는 G−E(F)의 Alon-Tarsi 수가 최대 3이 되는 삼각형이 없는 부분 그래프 F를 포함하는가?
• RQ2 최대 차수 Δ(H) ≤ 3인 부분 그래프 H를 평면 그래프 G에서 제거할 때 3-선택 가능성이 유지되는가?
• RQ3 모든 평면 그래프가 최대 차수 ≤d인 삼각형이 없는 부분 그래프 F를 가지며 G−E(F)의 Alon-Tarsi 수 ≤3이 되는 상수 d가 존재하는가?
• RQ4 평면 그래프 G에서 별삼각형 포레스트 F를 제거할 경우, 그 결과 그래프가 3-색칠 가능하지 않은가?
• RQ5 부분 그래프 H에 어떤 구조적 조건이 성립하면 G−E(H)가 여전히 3-선택 가능하게 유지되는가?

주요 결과

• 모든 평면 그래프 G에 대해, G−E(F)의 Alon-Tarsi 수가 최대 3이 되는 삼각형이 없는 부분 그래프 F가 존재한다. 이는 3-선택 가능성과 3-칠수 가능성을 암시한다.
• 최대 차수 Δ(H) ≤ 3인 부분 그래프 H에 대해 G₁−E(H)가 3-선택 가능하지 않은 평면 그래프 G₁가 존재한다.
• 모든 별삼각형 포레스트 F에 대해 G₂−E(F)가 K₄를 포함하므로 3-색칠 가능하지 않은 평면 그래프 G₂가 존재한다.
• 적절히 선택된 삼각형이 없는 부분 그래프 F에 대해, 귀납적 구성에 의한 '좋은 방향'을 통해 |EE(D)|−|OE(D)| ≠ 0이 되며, G−E(F)의 Alon-Tarsi 수는 3 이하로 유 bounds된다.
• 증명은 삼각형 면을 가진 부분 그래프로 평면 그래프를 분해하고, 재귀적 간선 및 정점 감소 과정을 통해 Alon-Tarsi 조건을 유지하는 방향을 구성하는 데 의존한다.
• 이러한 삼각형이 없는 부분 그래프 F의 존재는 G의 초기 구조와 무관하게 보장되며, 이는 평면 그래프의 보편적인 구조적 성질을 보여준다.