[논문 리뷰] The Alpha-Heston Stochastic Volatility Model

Ying Jiao, Chunhua Ma외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 05.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 26인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 자산 변동성의 자기자극적 점프 클러스터링과 첨예한 꼬리 동역학을 가능하게 하는 $\alpha$-스테이블 Lévy 과정을 변동성 과정에 도입한 아핀 확장된 Heston 확률적 변동성 모델인 알파-헤스톤 모델을 제안한다. 주요 기여는 이 틀 내에서의 임의의 변동성 표면과 渐近적 행동의 엄밀한 특성화이며, 수렴 결과는 모델이 시장 데이터에서 관찰되는 극단적 변동성 사건과 클러스터 효과를 잘 반영함을 보여준다. 특히 금융 위기 기간 동안 뚜렷하다.

ABSTRACT

We introduce an affine extension of the Heston model where the instantaneous variance process contains a jump part driven by $α$-stable processes with $α\in(1,2]$. In this framework, we examine the implied volatility and its asymptotic behaviors for both asset and variance options. Furthermore, we examine the jump clustering phenomenon observed on the variance market and provide a jump cluster decomposition which allows to analyse the cluster processes.

연구 동기 및 목표

• 표준 헤스톤 모델이 금융 위기 기간 동안 극단적 변동성을 잘 반영하지 못하는 데서 비롯되는 한계를 해결하고자 한다.
• 변동성 역학에 $\alpha$-스테이블 Lévy 과정을 통합하여 첨예한 증분을 갖는 자기자극적 점프를 모델링함으로써 헤스톤 모델을 확장하고자 한다.
• 새로운 모델 하에서 주식 및 변동성 옵션에 대한 임의의 변동성 표면과 그 渐近적 행동을 분석하고자 한다.
• CIR 기반의 평균 회귀 변동성과 표시된 하우크스 과정 및 CBI 과정을 통한 내재된 점프 클러스터링을 연결하는 간결하면서도 현실적인 프레임워크를 제공하고자 한다.
• 스케일링 하에서 점프 성분의 이론적 수렴 결과를 확립하여 적절한 정규화 하에 결정론적 한계로 수렴함을 보여주고자 한다.

제안 방법

• 순간적 변동성 SDE를 수정하여 $\alpha \in (1,2]$ 인 $\alpha$-스테이블 Lévy 과정을 포함함으로써 첨예한 꼬리와 자기자극적 점프 역학을 가능하게 하는 알파-헤스톤 모델을 도입한다.
• 무한 활동을 갖는 표시된 하우크스 과정과 브라운 운동 노이즈 성분을 사용하여 자기자극적 점프 성질을 모델링하고, 적분 특성화를 통해 CBI 과정과 연결한다.
• Dawson와 Li(1998)의 일반 SDE 프레임워크를 활용하여 이민을 갖는 CBI 과정으로서 변동성 과정을 표현함으로써 아핀 구조와 해석 가능성 확보.
• 점프 역학과 흡수 성질을 묘사하기 위해 분기 메커니즘 $\Psi_{\alpha}(q) = aq + \frac{\sigma^2}{2}q^2 - \frac{\sigma_N^\alpha}{\cos(\pi\alpha/2)}q^\alpha$ 를 활용한다.
• Grey의 조건과 미분방정식 $\frac{d}{dt}q_t = -\Psi_\alpha(q_t)$ 의 최소 해를 활용하여 소멸 시간과 모멘트 생성 함수를 분석한다.
• 스케일링 극한을 적용: $y_n \sim c n^{1/\alpha}$ 일 때, 정규화된 점프 과정 $J_{nt}^{(y_n)}$ 이 복합 포아송 과정으로 확률적 수렴을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 변동성 과정에 $\alpha$-스테이블 점프가 포함될 경우 주식 및 변동성 옵션에 대한 임의의 변동성 표면에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 알파-헤스톤 모델은 주식 금융 위기 기간(예: 서브프라임 위기 또는 브렉시트) 동안 실현된 변동성에서 관찰되는 점프 클러스터링을 재현할 수 있는가?
• RQ3 특히 장기 만기 및 극단적 행사 가격 영역에서 알파-헤스톤 모델 하에서의 임의의 변동성의 渐近적 행동은 어떠한가?
• RQ4 알파-헤스톤 모델의 점프 구조는 VIX와 실현 변동성 데이터의 경험적 파워 법칙 꼬리와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 적절한 스케일링 하에서 점프 성분의 극한 행동은 어떠한가? 결정론적 극한인지, 확률적 극한인지 여부는 무엇인가?

주요 결과

• 알파-헤스톤 모델은 2008년, 2010년, 2016년과 같은 위기 기간 동안 VIX 지수에서 관찰되는 자기자극적 점프 클러스터링 현상을 성공적으로 반영한다.
• 모델의 변동성 과정은 이민을 갖는 CBI 과정으로 표현되며, 이는 해석 가능성과 무한 활동을 갖는 표시된 하우크스 과정과의 명확한 연결을 가능하게 한다.
• 점프 성분 $J_{nt}^{(y_n)}$ 은 비율 $\frac{\sigma_N^\alpha}{\alpha \cos(\pi\alpha/2) \Gamma(-\alpha) c^\alpha}$ 를 갖는 복합 포아송 과정으로 확률적 수렴을 보이며, 스케일링 하에서 결정론적 한계로 수렴함을 보여준다.
• 정규화된 적분 $\frac{1}{n}\int_0^{nt} V_s^{(y_n)} ds$ 는 $bt$ 로 확률적 수렴을 보이며, 이는 변동성 과정의 안정적인 장기 행동을 나타낸다.
• 점프 과정의 모멘트 생성 함수는 $\exp\left\{ -\frac{\sigma_N^\alpha bt}{\alpha \cos(\pi\alpha/2) \Gamma(-\alpha) c^\alpha} (e^{-\theta} - 1) \right\}$ 로 수렴하여 복합 포아송 과정으로의 수렴을 확인한다.
• 모델은 Feller 조건을 유지하여 변동성이 거의 확실히 양수임을 보장하며, 아핀 구조와 CBI 과정 이론을 통해 해석 가능성과 이론적 탄탄함을 유지한다.