[논문 리뷰] The anisotropic Calder{ó}n problem for singular metrics of warped product type: the borderline between uniqueness and invisibility

Thierry Daudé, Niky Kamran외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 15.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 27인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 특이 미터릭을 가진 워프드 프로덕트 리만다이언 군면에서 이방성 캘러드론 문제에 대한 유일성과 투명성 임계값을 설정한다. 특이 스투름-리우빌 이론과 와일-티처머스 함수를 사용하여, 계수들이 임계 $L^p$ 공간 또는 $L^∞$에 속할 경우 딜리클레-노이만 맵이 미터릭을 유일하게 결정함을 증명한다. 이 이상으로는 반례를 통해 영역이 경계 측정에 의해 감춰질 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper, we investigate the anisotropic Calder{ó}n problem on cylindrical Riemannian manifolds with boundary having two ends and equipped with singular metrics of (simple or double) warped product type, that is whose warping factors only depend on the horizontal direction of the cylinder. By singular, we mean that these factors are only assumed to be positive almost everywhere and to belong to some L p space with 0 < p $\le$ $\infty$. Using recent developments on the Weyl-Titchmarsh theory for singular Sturm-Liouville operators, we prove that the local Dirichlet-to-Neumann maps at each end are well defined and determine the metric uniquely if: 1. (Doubly warped product case) the coefficients of the metric are L $\infty$ and bounded from below by a positive constant. 2. (Warped product case) the coefficients of the metrics belong to a critical L p space where p < $\infty$ depends on the dimension of the compact fibers of the cylinder. Finally, we show (in the warped product case and for zero frequency) that these uniqueness results are sharp by giving simple counterexamples for a class of singular metrics whose coefficients do not belong to the critical L p space. All these counterexamples lead to a region of space that is invisible to boundary measurements.

연구 동기 및 목표

• 특이 리만다이언 군면의 워프드 프로덕트 유형 미터릭에 대한 이방성 캘러드론 문제에서 유일성과 투명성의 경계를 규명하는 것.
• 경계가 있는 실린더 군면에서 딜리클레-노이만 맵이 미터릭을 유일하게 결정할 조건을 설정하는 것.
• 미터릭 계수의 임계 적분 임계값($L^p$ 또는 $L^∞$)을 특정하여, 이 이상에서 유일성이 실패하고 투명성이 나타나는 조건을 규명하는 것.
• 경계 측정을 통해 부분적으로 감춰지는 현상(클로킹 효과)을 보여주는 명시적 반례를 구성하는 것.

제안 방법

• 최근에 개발된 측정 가능한 계수를 가진 특이 스투름-리우빌 연산자에 대한 와일-티처머스 이론을 응용하는 것.
• 워프드 프로덕트 미터릭에서 변수분리로 유도된 반경 방향 상미분방정식의 스펙트럼 이론을 분석하는 것.
• 복소 각운동량 방법을 사용하여 각 실린더 끝에서의 스펙트럼 자료와 DN 맵을 연결하는 것.
• $H^1(M)$에서 약한 해를 통해 딜리클레-노이만 맵을 유도하여, 특이 미터릭에서도 잘 정의됨을 보장하는 것.
• 거듭제곱 특이성을 가진 반경 방향 상미분방정식의 명시적 해를 구성하고, 그들의 $L^2$-적분 가능성과 에너지 조건을 분석하는 것.
• 에너지 추정과 베셀 유형 해의 점근적 분석을 적용하여 유한 에너지 해가 존재하고 유일한 조건을 규명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 워프드 프로덕트 케이스에서 딜리클레-노이만 맵으로부터 미터릭의 유일성을 보장하는 데 필요한 계수의 임계 $L^p$ 적분 임계값은 무엇인가?
• RQ2 이중 워프드 프로덕트 케이스에서 계수의 $L^∞$ 유계성은 유일성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 어떤 조건에서 특이 미터릭이 투명성을 초래하는가? 즉, 군면의 일부가 경계 측정으로서 감지되지 않을 수 있는가?
• RQ4 미터릭이 다른 곳에서는 매끄럽지만, DN 맵이 영역 내의 미터릭 변화를 감지하지 못하는 반례를 구성할 수 있는가?
• RQ5 콤���트 섬유의 차원이 유일성에 대한 임계 $L^p$ 공간을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 이중 워프드 프로덕트 미터릭의 경우, 계수가 $L^∞$에 있고 양수 상한을 가지면, 딜리클레-노이만 맵이 미터릭을 유일하게 결정한다.
• 워프드 프로덕트 케이스에서 계수가 임계 $L^p$ 공간에 속할 경우 유일성이 성립하며, 이때 $n > 2$에 대해 $p = \frac{2n}{n-2}$이고, $n=2$에 대해 $p = ∞$이다.
• 미터릭 계수가 임계 $L^p$ 임계값 이하로 떨어지면, 반례를 통해 DN 맵이 중심 영역의 미터릭을 구분할 수 없음을 보여주며, 이로 인해 투명성이 발생한다.
• 반례는 $|x - x_0|^{-r}$ 형태의 거듭제곱 특이성을 가진 미터릭을 포함하며, 이때 $r$이 임계 지수를 초과하여, 계면 사이에서 클로킹 효과가 발생한다.
• 차원 $n=3$에서는 임계 $L^p$ 공간이 $p = 3$에 해당하며, $r \to 2^-$일 때 미터릭은 투명성을 가능하게 할 정도로 충분히 특이해진다.
• 모든 반례 구성에서 리만다이언 체적은 유한하며, 이는 투명성이 무한 체적 때문이 아니라 특이한 미터릭 행동 때문임을 확인한다.