[논문 리뷰] The Borel complexity of von Neumann equivalence

Inessa Epstein, Asger Törnquist|arXiv (Cornell University)|2011. 09. 11.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 24인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 가산离산군 Γ가 비가역적 자유군 Fn (2 ≤ n ≤ ∞)을 정규부분군으로 포함하는 경우, Γ의 약혼합, 거의확실로 자유인 확률보존(위상보존) 작용에 대한 공轭, 궤도 등가, 그리고 von Neumann 등가 관계가 분석적이지만 Borel가 아니라는 것을 증명한다. 이는 분리가능하게 작용하는 II₁, II∞, IIIλ 유형의 인피니티 팩터들 사이의 동형관계도 동일한 성질을 가지며, 이는 오랜 기간 동안의 에르고딕 이론과 연산자 대수학에서의 복잡성 문제를 해결한다.

ABSTRACT

We prove that for a countable discrete group $Γ$ containing a copy of the free group $\F_n$, for some $2\leq n\leq\infty$, as a normal subgroup, the equivalence relations of conjugacy, orbit equivalence and von Neumann equivalence of the ergodic a.e. free actions of $Γ$ are analytic non-Borel equivalence relations in the Polish space of probability measure preserving $Γ$ actions. As a consequence we obtain that the isomorphism relation in the spaces of separably acting factors of type $\II_1$, $\II_\infty$ and $\III_λ$, $0\leqλ\leq 1$, are analytic and not Borel when these spaces are given the Effros Borel structure.

연구 동기 및 목표

• 가산 이산군 Γ의 약혼합, 거의확실로 자유인 확률보존(위상보존) 작용에 대한 공轭, 궤도 등가, von Neumann 등가 관계의 Borel 복잡성을 규명하는 것.
• 이러한 등가관계가 Borel인지 분석적인지, 그리고 분석적이라면 완전 분석적인지 여부를 다루는 기본적인 질문을 제기하는 것.
• Effros Borel 구조 하에서 II₁, II∞, IIIλ 유형의 팩터 공간에서의 동형관계의 복잡성에 대한 결과를 확장하는 것.
• 에르고딕 이론과 von Neumann 대수학 이론에서 분류 문제의 논리적 및 서술적 집합론적 복잡성에 대한 체계적 분석을 제공하는 것.

제안 방법

• Γ에 비가역적 자유군 Fn (2 ≤ n ≤ ∞)이 정규부분군으로 존재함을 이용하여, 나무 위의 완전 분석적 등가관계(TFA)에서 p.m.p. 작용의 등가관계로의 Borel 감소를 구성하는 것.
• 각 나무에 대해 Γ의 약혼합, 거의확실로 자유인 p.m.p. 작용을 할당하는 Borel 사상 h: TFA → A*_{wm}(Γ,X,μ)를 활용하는 것.
• 논문 [17]의 결과를 적용하여, 관련된 군-측도 공간 von Neumann 대수들이 HT-팩터임을 보장함으로써, 이러한 대수들의 동형관계가 정확히 원래의 등가관계와 일치함을 보장하는 것.
• Borel 가산-일대일 감소 기법을 사용하여 TFA 동형관계의 완전성을 II∞ 및 IIIλ 유형 팩터의 동형관계로 이전하는 것.
• 분리가능한 힐베르트 공간 위에서 작용하는 von Neumann 대수 공간에 대한 Effros Borel 구조를 활용하여, 동형관계가 Borel 측정 가능함을 보장하는 것.
• 두 군-측도 공간 대수가 동형이라면, 주어진 조건 하에 그들의 관련 작용이 von Neumann 등가임이 보장되며, 그 역도 마찬가지로 성립함을 적용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가산 이산군 Γ의 약혼합, 거의확실로 자유인 p.m.p. 작용에 대한 공轭 관계가 분석적인지 Borel인지인가?
• RQ2 Γ가 비가역적 자유군을 정규부분군으로 포함할 경우, 이러한 작용에 대한 궤도 등가 및 von Neumann 등가 관계가 분석적이고 Borel가 아닌가?
• RQ3 Effros Borel 구조 하에서 분리가능하게 작용하는 II₁, II∞, IIIλ 유형 팩터의 동형관계의 Borel 복잡성은 무엇인가?
• RQ4 추가적인 집합론적 가정 없이 ZFC에서 공轭 관계의 완전성이 확립될 수 있는가?
• RQ5 이러한 등가관계의 복잡성이 모든 비가역적 가산 이산군에 대해 유지되는가?

주요 결과

• 가산 이산군 Γ가 비가역적 자유군 Fn (2 ≤ n ≤ ∞)을 정규부분군으로 포함하는 한, 약혼합, 거의확실로 자유인 p.m.p. 작용에 대한 공轭 관계는 완전 분석적이며, 따라서 Borel가 아님을 보였다.
• 궤도 등가 및 von Neumann 등가 관계 역시 분석적이며 Borel가 아니며, 이는 나무 위의 완전 분석적 관계에서의 Borel 감소를 통해 입증되었다.
• 분리가능하게 작용하는 II₁ 유형 팩터의 동형관계는 분석적이며 Borel가 아니며, 이는 이전 결과를 더 넓은 팩터 클래스로 확장한 것이다.
• II∞ 및 IIIλ 유형 팩터(0 ≤ λ ≤ 1)의 동형관계 역시 분석적이며 Borel가 아니며, TFA 동형관계에서의 Borel 가산-일대일 감소를 구성함으로써 입증되었다.
• 0♯가 존재하거나 가측 카디널이 존재한다는 가정 하에, 분석적 비-Borel 관계는 완전 분석적이지만, 본 논문은 이 성질이 모든 비가역적 군에 대해 ZFC에서 성립할 것이라 추측한다.
• 이러한 결과는 넓은 범위의 군과 팩터에 대해 에르고딕 이론과 연산자 대수학에서의 분류 문제의 Borel 복잡성을 해결하였으며, 이러한 설정에서 Borel 분류가 불가능함을 보여준다.