[논문 리뷰] The BR1 Scheme is Stable for the Compressible Navier-Stokes Equations

Gregor J. Gassner, Andrew R. Winters외 2명|Kölner Universitäts PublikationsServer (Universität zu Köln)|2017. 04. 12.

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics참고 문헌 28인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 압축성 라우지에르-스톡스 방정식에 대한 BR1 스킴이 이산 미터릭 항등식 충족, 미터릭 항에 대한 두 점 평균, 난류 유동계수에 대한 엔트로피 보존 분할 형식, 엔트로피 변수 기반 점성 기울기, BR1 인터페이스 유량을 조합할 경우 증명 가능한 안정성을 확보함을 증명한다. 이 스킴은 내부 면에 인위적 소산을 도입하지 않고 3차원 곡면 메쉬에서 에너지 또는 엔트로피 안정성을 달성한다.

ABSTRACT

We show how to modify the original Bassi and Rebay scheme (BR1) [F. Bassi and S. Rebay, A High Order Accurate Discontinuous Finite Element Method for the Numerical Solution of the Compressible Navier-Stokes Equations, Journal of Computational Physics, 131:267--279, 1997] to get a provably stable discontinuous Galerkin collocation spectral element method (DGSEM) with Gauss-Lobatto (GL) nodes for the compressible Navier-Stokes equations (NSE) on three dimensional curvilinear meshes. Specifically, we show that the BR1 scheme can be provably stable if the metric identities are discretely satisfied, a two-point average for the metric terms is used for the contravariant fluxes in the volume, an entropy conserving split form is used for the advective volume integrals, the auxiliary gradients for the viscous terms are computed from gradients of entropy variables, and the BR1 scheme is used for the interface fluxes. Our analysis shows that even with three dimensional curvilinear grids, the BR1 fluxes do not add artificial dissipation at the interior element faces. Thus, the BR1 interface fluxes preserve the stability of the discretization of the advection terms and we get either energy stability or entropy-stability for the linear or nonlinear compressible NSE, respectively.

연구 동기 및 목표

• 3차원에서 압축성 라우지에르-스톡스 방정식에 대한 BR1 스킴의 증명 가능한 안정성을 확립하기 위해.
• BR1가 광범위하게 사용되지만 오랫동안 안정성에 대한 우려가 제기된 문제를 해결하기 위해.
• 에너지 또는 엔트로피 안정성을 확보하기 위해 필요한 최소한의 수정 사항을 규명하기 위해.
• 적절히 구성된 경우 BR1 스킴이 내부 요소 면에 인위적 소산을 도입하지 않음을 입증하기 위해.
• 복잡한 곡면 메쉬를 위한 가우스-로바토 노드를 사용하는 안정적이고 파rameter-free인 DGSEM 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 가우스-로바토 노드와 일관된 미터릭 재구성 방법을 사용하여 이산적으로 미터릭 항등식을 충족시킨다.
• 체적 적분에서 반대칭 유량에 대한 두 점 평균을 적용하여 일관성을 유지한다.
• 유동계수 유량에 대해 엔트로피 보존 분할 형식을 사용하여 보존 성질을 유지한다.
• 안정성을 확보하기 위해 점성 항의 보조 기울기를 엔트로피 변수로부터 계산한다.
• 요소 간섭면에서 BR1 수치 유량을 사용하여 단순성과 일관성을 유지한다.
• 합성-통분 구조를 통해 이산 약한 형식이 엔트로피 또는 에너지 안정성 조건을 충족하도록 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 압축성 라우지에르-스톡스 방정식에 대한 BR1 스킴이 3차원 곡면 격자에서 증명 가능한 안정성을 확보할 수 있는가?
• RQ2 BR1 프레임워크에서 에너지 또는 엔트로피 안정성을 확보하기 위해 어떤 수정이 필요한가?
• RQ3 BR1 스킴이 내부 요소 면에 인위적 소산을 도입하는가?
• RQ4 보존성과 안정성을 유지하기 위해 미터릭 항등식을 어떻게 이산적으로 충족시킬 수 있는가?
• RQ5 압력 dominant 흐름에 대해 BR1 스킴은 명시적 시간 적분 하에서도 안정적인가?

주요 결과

• 미터릭 항등식이 이산적으로 충족될 경우, BR1 스킴은 압축성 라우지에르-스톡스 방정식에 대해 증명 가능한 안정성을 확보한다.
• 비선형 방정식에 대해 엔트로피 안정성을 달성하고 선형화된 방정식에 대해 에너지 안정성을 확보한다.
• 내부 요소 면에 인위적 소산이 도입되지 않아, 해상도가 높은 스케일을 유지하는 데 기여한다.
• 이 방법은 파rameter-free이며, 페널티 파라미터나 추가 튜닝이 필요하지 않다.
• 가우스-로바토 노드를 사용한 3차원 곡면 육면체 요소에 대해서도 안정성 결과가 성립한다.
• 분석을 통해 BR1 인터페이스 유량이 엔트로피 보존 분할 형식과 일관된 미터릭 근사와 조합될 경우 안정성을 유지함을 확인했다.