[논문 리뷰] The Brezis-Nirenberg problem for the fractional $p$-Laplacian involving critical Hardy-Sobolev exponents

Yang Yang|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 12.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 54인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비국소적이고 가중치가 있는 설정으로 고전적인 Brezis-Nirenberg 결과를 확장하여, 임계 하디-소볼레프 지수를 가진 분수형 $p$-라플라시안 방정식에 대한 비자명한 해의 존재성, 다중성 및 분기성을 확립한다. [37]에서 얻은 점근적 추정을 통해 명시적 최소화자를 확보하지 못하는 문제를 극복함으로써, $N$, $p$, $s$, $\alpha$, 및 $\lambda$에 대한 다양한 조건 하에서 다수의 해가 존재함을 증명한다. 이는 고유값에서의 분기 또한 포함한다.

ABSTRACT

We obtain existence, multiplicity, and bifurcation results for the Brezis-Nirenberg problem for the fractional $p$ obreakdash-Laplacian operator, involving critical Hardy-Sobolev exponents. Our results are mainly extend results in the literature for $α=0$. In the absence of an explicit formula for a minimizer in the fractional Hardy-Sobolev inequality $α ot= 0$, we get around this difficulty by working with certain asymptotic estimates for minimizers recently obtained in \cite{MM}.

연구 동기 및 목표

• 임계 하디-소볼레프 지수를 포함하고 있는 특이 가중치 $|x|^{-\alpha}$를 가진 분수형 $p$-라플라시안 문제에 대한 고전적인 Brezis-Nirenberg 문제를 확장한다.
• 명시적 최소화자가 존재하지 않는 경우, 즉 $\alpha \neq 0$일 때 문제에 대한 비자명한 약한 해의 존재성과 다중성을 확립한다.
• 최근 Marano 등 [37]에서 확보한 점근적 추정을 활용하여, 날카운 분수형 하디-소볼레프 부등식의 최소화자에 대한 명시적 공식이 없는 문제에 대처한다.
• 도메인 $\Omega$에 대한 기하학적 및 정규성 조건 하에서 고유값 $\lambda_k$에서의 분기 결과를 증명한다.
• $\alpha = 0$일 때 알려진 결과를 임계 가중치 설정으로 일반화하기 위해 변분법과 코homological 인덱스 방법을 사용한다.

제안 방법

• 에너지 함수 $I_\lambda$를 정의하기 위해, 가우거도 반노름을 노름으로 갖는 공간 $W^{s,p}_0(\Omega)$ 내의 변분 프레임워크를 사용한다.
• 코homological 인덱스와 의사인덱스를 기반으로 한 추상적인 임계점 이론을 적용하여 에너지 함수의 다수의 비자명한 임계점을 탐지한다.
• 최근 [37]에서 확보한 분수형 하디-소볼레프 부등식의 최소화자에 대한 점근적 추정을 활용하여, $\alpha \neq 0$일 때 명시적 최소화자가 존재하지 않는 문제를 해결한다.
• 에너지 함수의 팰라이-스무드 조건을 부분임계 에너지 범위에서 확립하여 변분 설정에서의 컴acts를 보장한다.
• 링킹 정리와 변형 추론을 사용하여 임계점을 구성하며, 특히 $\lambda$가 고유값 $\lambda_k$에 가까운 경우 또는 그와 동일한 경우에 초점을 맞춘다.
• 횔더 부등식과 노름 추정을 적용하여 에너지 함수와 그 도함수 내의 비선형 항 $|u|^{p_s^*(\alpha)-2}/|x|^\alpha$를 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임계 하디-소볼레프 지수와 특이 가중치 $|x|^{-\alpha}$를 포함하는 분수형 $p$-라플라시안 문제는 $\alpha \neq 0$일 때 비자명한 약한 해를 갖는가?
• RQ2 분수형 하디-소볼레프 부등식의 최소화자가 명시적으로 존재하지 않음이 해의 존재성과 다중성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 가중치가 있는 임계 케이스에서 고유값 $\lambda_k$에서 분기가 발생할 수 있는가? 그리고 도메인 $\Omega$에 대한 기하학적 조건은 무엇인가?
• RQ4 해의 다수 존재를 보장하기 위한 $N$, $p$, $s$, $\alpha$에 대한 정확한 조건은 무엇인가?
• RQ5 최소화자의 점근적 성질이 변분 설정 내에서 하한 및 상한 해의 구성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 일부 조건 하에서 $N \geq sp^2$ 이고 $\lambda < \lambda_1$ 이면 문제는 적어도 하나의 비자명한 약한 해를 갖는다. 이는 고전적인 Brezis-Nirenberg 결과를 가중치 설정으로 확장한 것이다.
• 일부 조건 하에서 $N > sp^2$ 이고 $\lambda$가 어떤 고유값 $\lambda_k$와도 일치하지 않으면, 특이 가중치 $|x|^{-\alpha}$가 존재하더라도 문제는 적어도 하나의 비자명한 해를 갖는다.
• 일부 조건 하에서 $N^2/(N+s) > sp^2$ 이면 문제는 비자명한 해를 갖는다. 이는 $\alpha = 0$일 때 알려진 조건을 일반화한 것이다.
• 조건 $[N^2(N-\alpha) + s^3p^3 + \alpha sp(N-sp)]/[N(N+s-\alpha)] > sp^2$ 이고 $\partial\Omega \in C^{1,1}$ 이면, $\lambda = \lambda_k$일 때 문제는 비자명한 해를 갖는다.
• $\lambda < \lambda_{k+1}$ 이면, 논문은 $m$개의 서로 다른 비자명한 해 쌍 $\pm u_j^\lambda$의 존재를 증명한다. 이때 $I_\lambda(u_j^\lambda) \to 0$ 이다. $\lambda \nearrow \lambda_{k+1}$ 일 때, 이는 고유값에서의 분기를 시사한다.
• 해는 $\|u_j^\lambda\| \to 0$ 이고 $|u_j^\lambda|_{p_s^*(\alpha)} \to 0$ 이다. $\lambda \to \lambda_{k+1}^{-}$ 일 때, 이는 $W^{s,p}_0(\Omega)$ 및 $L^{p_s^*(\alpha)}(\Omega)$ 노름에서 0으로 수렴함을 확인한다.